Правильный многоугольник и векторный момент

[reterty]

Пусть мы имеем правильный $n$-угольник в центре которого помещена двумерная система координат и задан двумерный радиус-вектор $\vec{r}$. Что можно сказать о векторной величине $\vec{p}=\iint_S \vec{r} \,{\rm d}S$, не прибегая к конкретным вычислениям? В приведенной формуле интегрирование ведется по площади фигуры. Я рассуждаю так: если $n$-четно, то диэдральная группа симметрии имеет в качестве элемента поворот на $\pi$. Отсюда прямо следует равенство нулю $\vec{p}$. Однако, у меня возникают трудности с рассуждениями в случае если $n$- нечетно. Прошу помочь.

[Munin]

Разрезаете многоугольник из центра на треугольники. Интеграл режется на $n$ частей, отличающихся поворотом на $2\pi/n$ радиан, и каждое слагаемое даёт векторный результат, так же отличающийся между собой.
Складываете результаты по методу многоугольника, и замечаете, что они образуют рёбра правильного $n$-угольника, то есть, замкнутой ломаной.

[mihiv]

Вектор $\vec p$ не должен меняться при отражении в плоскости.

[reterty]

Munin в сообщении #1450760 писал(а):

Разрезаете многоугольник из центра на треугольники. Интеграл режется на $n$ частей, отличающихся поворотом на $2\pi/n$ радиан, и каждое слагаемое даёт векторный результат, так же отличающийся между собой.
Складываете результаты по методу многоугольника, и замечаете, что они образуют рёбра правильного $n$-угольника, то есть, замкнутой ломаной.

..... то есть получается $n$ векторов одинаковых по модулю и различающиеся по направлению так, что их векторная сума -нуль!?

-- Пт апр 03, 2020 11:38:48 --

mihiv в сообщении #1450762 писал(а):

Вектор $\vec p$ не должен меняться при отражении в плоскости.

.....или при повороте на любой из углов $2\pi/n$!.....поэтому такой вектор априори нулевой!

[ИСН]

reterty в сообщении #1450757 писал(а):

Пусть мы имеем правильный $n$-угольник

Да хоть бы и неправильный.

[nnosipov]

ИСН в сообщении #1450772 писал(а):

Да хоть бы и неправильный.

А вдруг центр не тот? Мало ли всяких центров у неправильных многоугольников.

[Утундрий]

Переоткрываем барицентр?

[Munin]

Например, у неправильного $n$-угольника может быть центр описанной окружности. Или центр вписанной окружности.

[ИСН]

nnosipov в сообщении #1450775 писал(а):

А вдруг центр не тот?

Ну если не тот - тогда, конечно, не тот. Но я-то имел в виду тот.

[nnosipov]

ИСН в сообщении #1450821 писал(а):

Но я-то имел в виду тот.

Да, само собой, я так и понял. Надеюсь, ТС тоже это поймет (о каком именно центре идет речь).

[Munin]

ИСН в сообщении #1450821 писал(а):

Но я-то имел в виду тот.

Угу. Но тут встаёт вопрос, как его, собственно, найти :-)

[Утундрий]

Цитата:

как его, собственно, найти

Как ${\mathbf{p}}/S$

[arseniiv]

reterty в сообщении #1450757 писал(а):

Однако, у меня возникают трудности с рассуждениями в случае если $n$- нечетно.

Munin в сообщении #1450760 писал(а):

Интеграл режется на $n$ частей, отличающихся поворотом на $2\pi/n$ радиан, и каждое слагаемое даёт векторный результат, так же отличающийся между собой.
Складываете результаты по методу многоугольника, и замечаете, что они образуют рёбра правильного $n$-угольника, то есть, замкнутой ломаной.

Это всё можно проще: симметрии переводят фигуру в себя, а результат интегрирования как-то меняют, если только не взять тождественную симметрию (но у нас тут всегда есть нетождественные). Но притом он должен остаться тем же, раз фигура осталась, ergo он нуль. Вот если бы результат был скаляром, мы бы ничего такого не получили; или если бы бивектором, нас бы не спасли повороты, а только отражения — меняющие ему знак. Вектору же достаточно и нетождественного поворота.

-- Пт апр 03, 2020 20:32:34 --

Зато если бы мы чем-то таким интегрировательным работали теперь уже с хорошим многогранником, то если бы мы придумали результат бивектор, он тоже должен был бы быть равен нулю, потому что ему пришлось бы вращаться не только в своей плоскости. Тривектор однако снова разделили бы судьбу бивектора на плоскости. Осталось придумать. Можно брать звёздочку Ходжа от радиус-вектора, но это не интересно, надо что-то повеселее.

[nnosipov]

arseniiv в сообщении #1450902 писал(а):

Вот если бы результат был скаляром, мы бы ничего такого не получили

Если поле скаляров конечно, то этот прием вполне себе работает. Простейший пример: задача на вычисление суммы всех элементов конечного поля.

[arseniiv]

А, ну я имел в виду более прямое и скучное утверждение, что и повороты, и отражения, и вообще аффинные преобразования на скалярах действуют тождественно.