Об векторном произведении и векторе площадки

[arseniiv]

Munin в сообщении #1450580 писал(а):

Или "косое", и разумеется, оно же внешнее exterior $\wedge$ (не путать с outer).

Ну я бы не сказал, что оно же. Внешнее и в этом случае даст бивектор, а чтобы получить псевдоскаляр, надо его помножить на соответствующую штуковину, чтобы заодно от линейных преобразований он перестал меняться в определитель раз. Но я побоялся упоминать внешнее в полноте и потому привёл только сходные произведения, тем более что они все из него получаются применением звёздочки Ходжа.

[misha.physics]

Munin, не совсем уверен, что я правильно понял, что такое алгебраическая система, но если вы о базисе, то думаю, я понимаю эту абстрактность, не имеющую отношения к тому пространству, где мы живем. Например, в квантовой механике векторы состояния можно разложить по базису. Ещё, след матрицы можно посчитать в базисе собственных векторов другой матрицы.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1450590 писал(а):

Ну я бы не сказал, что оно же.

Да, пардон, только в двумерном случае то же.

misha.physics в сообщении #1450597 писал(а):

Munin, не совсем уверен, что я правильно понял, что такое алгебраическая система

Одно / несколько множеств, снабжённых алгебраическими операциями, принимающими значения в этих множествах, и удовлетворяющих аксиомам. Примеры: группа, кольцо, поле, векторное пространство, алгебра, булева алгебра.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1450604 писал(а):

Да, пардон, только в двумерном случае то же.

И в двумерном не то же, $\Lambda^0 V$ и $\Lambda^N V$ канонически изоморфны только для $N = \dim V = 0$.

-- Чт апр 02, 2020 22:23:01 --

Даже если есть скалярное произведение, разумеется. Вот если есть оно и зафиксирована ориентация (что уже не так уж чтобы айс), это открывает нам дорогу.

[Munin]

Уступлю. Пожалуй, я зря держал в голове пример именно $\mathbb{R}^2.$

[misha.physics]

Munin,

Munin в сообщении #1450580 писал(а):

Ещё мне кажется, что у вас впечатление, что алгебраическая система как-то заранее "по умолчанию" погружена в наше трёхмерное пространство, где мы живём.

А, значит здесь под алгебраической структурой вы имели ввиду векторное пространство. Я это имел ввиду, когда говорил о базисе в предыдущем сообщении. Там я пытался привести пример векторного пространства, которое вообще говоря никак не получиться погрузить в наше пространство где мы живем. То есть я пытался сказать, что у меня вроде нет такого впечатления, и к пространству, в котором мы живем я не привязываюсь. Правда, помню, когда-то в других темах я слишком буквально воспринимал понятие векторного пространства. Но когда речь идет о некоторых векторах в физике, то я могу себе представить, что направление вектора, например, скорости частицы указывает в сторону её движения в том пространстве, в котором мы живем.

[arseniiv]

(Munin)

Кстати оффтопные (но если их писать в соответствующую тему, они потеряются, и её надо ещё найти) новости про псевдоскаляры, псевдовекторы, псевдоформы и прочие: кое-кто, кого мы все знаем и кто сюда больше не зайдёт, делился недавно ссылкой на ещё одно определение требуемой в их построении вещи, уже наконец-то достаточно инвариантное в смысле неупоминания всяких координатных вещей или задания действия операторов на ориентации à la теория представлений: https://en.wikipedia.org/wiki/Orientation_sheaf (сначала в это надо конечно как следует вникнуть… мне пока лень, тем более что выглядит не совсем уж непонятно).

[Munin]

misha.physics в сообщении #1450633 писал(а):

А, значит здесь под алгебраической структурой вы имели ввиду векторное пространство.

Нет, не совсем. Векторное пространство - это структура с одним сложением (и полем коэффициентов). А умножения вектора на вектор в ней нет.
Дальше можно сделать векторное пространство со скалярным произведением.
Но вы хотите ввести векторное произведение. Если соблюсти некоторые аксиомы, то это получится уже алгебра. Или алгебра Ли. Или ещё что-то такое. Или что-то другое вообще.
Но это уже не будет просто векторное пространство.

misha.physics в сообщении #1450633 писал(а):

Но когда речь идет о некоторых векторах в физике

В таких случаях у нас по умолчанию задана не только структура векторного пространства, но и стандартное погружение его в "пространство, в котором мы живём". А вне физики - нет.

Кстати, и даже в физике есть много векторных пространств. Есть пространство скоростей, пространство ускорений, пространство импульсов, пространство обобщённых координат (конфигурационное). Даже можно взять параметры $P,V,T$ некоего объёма идеального газа, и смотреть на них как на пространство. Или взять набор токов и напряжений в некой электрической схеме, и смотреть на них как на пространство. Для такого пространства нельзя сказать, что "вектор скорости частицы указывает в сторону её движения". Там будет только вектор скорости эволюции состояния схемы :-)

-- 02.04.2020 21:49:16 --

arseniiv

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1450636 писал(а):

кое-кто, кого мы все знаем и кто сюда больше не зайдёт

Вы меня прямо расстроили. Я не угадал, о ком речь.

[arseniiv]

(Munin)

Munin в сообщении #1450643 писал(а):

Я не угадал, о ком речь.

Ну я скорее слишком понадеялся. Это был kp9r4d.