Об векторном произведении и векторе площадки

[misha.physics]

Здравствуйте. В попытках лучше понять эту тему я начал придумывать себе разные вопросы и в некоторых из них не могу пока сам твёрдо разобраться. Суть ниже приведённых вопросов (кроме второго) отделить принципиальные моменты от соглашений.

1) Это скорее уточнение. Итак, возможны две и только две ориентации трёхмерной декартовой прямоугольной системы координат - правая и левая. В этих системах, определения векторного произведения отличаются. Это делается только для того, чтобы соотношения вида $\boldsymbol{i}\times\boldsymbol{j}=\boldsymbol{k}$, $\boldsymbol{j}\times\boldsymbol{k}=\boldsymbol{i}$, $\boldsymbol{k}\times\boldsymbol{i}=\boldsymbol{j}$ оставались одинаковыми для каждой из систем. То есть, теоретически, можно было бы определять векторное произведение в обеих системах одинаковым образом, но тогда для одной из системы выше написанные соотношения получили бы знак минус в одной из сторон равенств. Но, в принципе, такое соглашение можно бы было принять и использовать его на практике в расчётах. Правильно?

2) Пусть у нас есть незамкнутая многогранная поверхность, на контуре которой задано определенное направление обхода. В книге говорится, что направление положительного обхода каждой грани определяется из направления обхода всей поверхности. С граничными гранями понятно, но как найти направление обхода контура той грани, которая не является граничной. Я интуитивно догадываюсь, как это можно сделать, но получается довольно громоздко. Пусть мы находимся на поверхности граничной грани и знаем направление обхода контура этой грани. Будем теперь двигаться по этому контуру в направлении обхода и заметим, по какую сторону от нас, левую или правую, находится данная грань. Теперь перейдем к внутренней грани и будем двигаться по её контуру в таком направлении, чтобы данная грань была с той же стороны когда мы двигались по контуру граничной грани, это и будет искомое направление обхода. При всех этих наших движениях главное находиться на одной и той же стороне поверхности, то есть, не перелезать на её обратную сторону (это легко выявить). Но может есть какой-то альтернативный, более "стандартный" способ нахождения направления обхода этих внутренних граней?

3) Рассмотрим какую-то систему. Пусть в ней $\boldsymbol{i}\times\boldsymbol{j}=\boldsymbol{k}$, $\boldsymbol{j}\times\boldsymbol{k}=\boldsymbol{i}$, $\boldsymbol{k}\times\boldsymbol{i}=\boldsymbol{j}$. У меня почему-то возникла мысль, что, если мы произвольно и независимо изменим знаки в правых частях этих равенств. Например, напишем $\boldsymbol{i}\times\boldsymbol{j}=\boldsymbol{-k}$, $\boldsymbol{j}\times\boldsymbol{k}=\boldsymbol{i}$, $\boldsymbol{k}\times\boldsymbol{i}=\boldsymbol{j}$. Меня интересует, можно ли так написать (по соглашению) или нельзя (принципиально). Если мы так напишем, то это будет означать что орты $\boldsymbol{i}$ и $\boldsymbol{j}$ мы векторно умножаем между собой по одному правилу, а остальные комбинации ортов - по другому. Я пока не могу найти контрпример. Например, если мы построим на ортах $\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}$ куб, найдем векторы для каждой из его граней (направленных по положительной к ним нормали) и геометрически складывая их, найдем вектор поверхности этого куба, то получим ноль, как и должно быть для замкнутой поверхности. Последний факт я понимаю, как один из принципиальных. Если мы посчитаем векторное произведение векторов $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$, заданных своими координатами, то для $(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})_z$ получим выражение, отличающееся знаком от обычного $a_xb_y-a_yb_x$. Но я не вижу в этом проблемы для вычислений и "вообще" (принципиальной). Под "принципиальностью" здесь я понимаю те условия, которые если мы изменим, то этот формализм с векторным произведением и векторами поверхности станет непригодным для вычислений, противоречивым что ли. Я, конечно, никоим образом не хочу предлагать (внедрять) какие-то усложнения, а просто хочу разобраться. Впрочем, с этим третьим вопросом я, возможно, перемудрил перетупил.

[arseniiv]

misha.physics в сообщении #1449927 писал(а):

Итак, возможны две и только две ориентации трёхмерной декартовой прямоугольной системы координат - правая и левая.

И не только трёхмерной и декартовой (кстати, декартова = прямоугольная). Ещё можно на всякий случай заметить, что только связанные с физикой ориентации однозначно можно будет назвать правой и левой, потому что в иных случаях есть просто две ориентации, никакую из которых нельзя будет соотнести с правостью/левостью единственным образом.

misha.physics в сообщении #1449927 писал(а):

То есть, теоретически, можно было бы определять векторное произведение в обеих системах одинаковым образом, но тогда для одной из системы выше написанные соотношения получили бы знак минус в одной из сторон равенств. Но, в принципе, такое соглашение можно бы было принять и использовать его на практике в расчётах. Правильно?

Использовать — ну, не совсем. Если мы хотим, чтобы определения величин не зависели от системы координат, в которой мы их рассматриваем, то тогда нет. Если мы согласны таскать по расчётам ориентацию, которая не используется в исходных данных и не попадает в результаты — да.

Вообще же векторное произведение — это вещь, получившая своё распространение только из-за некоторых отдельных свойств размерности 3. В общем случае определено внешнее произведение, но оно даёт результатом не вектор, зато же оно и не требует думать про ориентацию систем координат и вообще системы координат.

misha.physics в сообщении #1449927 писал(а):

Пусть у нас есть незамкнутая многогранная поверхность, на контуре которой задано определенное направление обхода. В книге говорится, что направление положительного обхода каждой грани определяется из направления обхода всей поверхности. С граничными гранями понятно, но как найти направление обхода контура той грани, которая не является граничной.

Направление обхода грани задаёт на каждом её ребре направление. Грань, смежная контуру, должна индуцировать на ребре, принадлежащем контуру, то же направление что и сам контур; две смежные грани должны на ребре, которое они делят, индуцировать противоположные направления — тогда мы можем объединить их в одну «ломаную грань» и ничего не сломать.

[misha.physics]

Ещё, к третьему вопросу, кстати, $|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}|$ получается одинаковым для произвольных знаков в правых частях соотношений для ортов, а направление векторного произведения меняется по той оси, возле орта которого мы изменили знак в правой части соотношений. Ещё подумал, что если расставить знаки произвольно, то уже не получается записать векторное произведение через определитель, упорядоченность какая-то теряется.

[arseniiv]

misha.physics в сообщении #1449927 писал(а):

Рассмотрим какую-то систему. Пусть в ней $\boldsymbol{i}\times\boldsymbol{j}=\boldsymbol{k}$, $\boldsymbol{j}\times\boldsymbol{k}=\boldsymbol{i}$, $\boldsymbol{k}\times\boldsymbol{i}=\boldsymbol{j}$. У меня почему-то возникла мысль, что, если мы произвольно и независимо изменим знаки в правых частях этих равенств. Например, напишем $\boldsymbol{i}\times\boldsymbol{j}=\boldsymbol{-k}$, $\boldsymbol{j}\times\boldsymbol{k}=\boldsymbol{i}$, $\boldsymbol{k}\times\boldsymbol{i}=\boldsymbol{j}$. Меня интересует, можно ли так написать (по соглашению) или нельзя (принципиально).

Можно проверить так: можем ли мы орты со старым умножением одним и тем же линейным преобразованием перевести в некоторые $\mathbf i', \mathbf j', \mathbf k'$, для которых старое умножение, выраженное в этих новых $\mathbf i', \mathbf j', \mathbf k'$, будет выглядеть как новое. Если да, это грубо говоря то же самое умножение и ничего страшного не произошло. Если нет, это просто другой закон умножения, не обязательно чем-то плохой.

Вот например можете принять $\mathbf i' = -\mathbf i, \mathbf j' = \mathbf j, \mathbf k' = \mathbf k$, что получится?

UPD:

misha.physics в сообщении #1449955 писал(а):

Ещё подумал, что если расставить знаки произвольно, то уже не получается записать векторное произведение через определитель, упорядоченность какая-то теряется.

Не для всех замен знаков.

[misha.physics]

arseniiv, я написал свое второе сообщение до того, как прочёл ваше, спасибо, сейчас прочитаю.

(Оффтоп)

Я вас сначала не узнал кстати :)

[B@R5uk]

misha.physics в сообщении #1449927 писал(а):

Итак, возможны две и только две ориентации трёхмерной декартовой прямоугольной системы координат - правая и левая.

Это связано с тем, что определитель матрицы, задающей переход от одной системы координат к другой может иметь либо положительный знак, либо отрицательный. Поэтому все системы координат распадаются на два класса. Внутри каждого класса переход между системами координат выполняется с помощью матрицы с положительным определителем, между классами — с отрицательным. В трёхмерном пространстве есть возможность назначить каждому из классов имя: правая система координат и левая. Однако, эти два класса существуют для любой размерности.

Заметьте важный момент: переход между системами координат никак не связан с метрикой пространства. Поэтому даже если мы не знаем, какой из векторов единичный и какие два вектора ортогональны, мы всё равно можем для двух заданных систем координат сказать, принадлежат ли они одному классу или же разным.

[Утундрий]

Дан определитель, остальное следует...

[arseniiv]

B@R5uk в сообщении #1449974 писал(а):

Заметьте важный момент: переход между системами координат никак не связан с метрикой пространства. Поэтому даже если мы не знаем, какой из векторов единичный и какие два вектора ортогональны, мы всё равно можем для двух заданных систем координат сказать, принадлежат ли они одному классу или же разным.

Можно добавить ещё под другим углом: даже если нет метрики, можно определить отношение ориентированных объёмов (что в конечном итоге следствие того же, почему можно разделить друг на друга два пропорциональных друг другу вектора), и определитель оператора — это отношение объёмов параллелепипедов, натянутых на векторы до преобразования и на их образы. Соответственно наглядно, что определитель 0 соответствует преобразованию, не годящемуся в качестве смены базиса, потому что векторы становятся линейно зависимыми и параллелепипед сдувается, и если определитель отрицательный, поменялась ориентация, при этом не важно как мы величали ориентации того и другого параллелепипеда по отдельности, потому что они либо при любом определении совпадают, либо при любом же не совпадают.

[misha.physics]

Спасибо всем за ответы.

arseniiv в сообщении #1449952 писал(а):

Использовать — ну, не совсем. Если мы хотим, чтобы определения величин не зависели от системы координат, в которой мы их рассматриваем, то тогда нет. Если мы согласны таскать по расчётам ориентацию, которая не используется в исходных данных и не попадает в результаты — да.

Пусть мы определяем векторную величину $\mathbf c$ как векторное произведение векторов $\mathbf a$ и $\mathbf b$, то есть, $\mathbf c=\mathbf a\times\mathbf b$, причем в правой системе направление вектора $\mathbf c$ определяется так, что с конца вектора $\mathbf c$ кратчайший поворот от $\mathbf a$ к $\mathbf b$ происходит против часовой стрелки, а в левой системе - по часовой стрелке. В этом случае соотношения (векторные произведения) между ортами записываются одинаковым образом для обоих систем. В результате, и в правой и в левой системах вектор $\mathbf c$ будет одинаковым. Как я понимаю, таким образом и поступают. Попробуем теперь по-другому, а именно, определим теперь векторное произведение $\mathbf c=\mathbf a\times\mathbf b$ для правой и левой систем одинаково, то есть теперь с конца вектора $\mathbf c$ кратчайший поворот от $\mathbf a$ к $\mathbf b$ происходит, например, против часовой стрелки и для левой и для правой систем, но все три соотношения между ортами пусть теперь отличаться знаком для разных систем. В результате, в обоих системах мы получим тот же вектор $\mathbf c$. Теперь, во втором случае мы тащим с собой ориентацию, то есть тот факт, что в разных системах соотношения (векторные произведения) между ортами отличаются знаком. Но в первом случае мы ведь тоже тащим с собой ориентацию, в том месте когда говорим о поворотах против часовой стрелки и по часовой стрелки для разных систем. То есть, мне кажется, что мы тащим ориентацию и там и там. Просто в одном случае информация об этой ориентации состоит в противоположных поворотах, а другая - в противоположных знаках. Получается, что эти два способы эквивалентны. Или здесь у меня ошибка?

arseniiv в сообщении #1449952 писал(а):

две смежные грани должны на ребре, которое они делят, индуцировать противоположные направления

Действительно, так получается для граничных граней, направления получаются противоположными. Значит это правило просто переносится и на внутренние грани. Просто для меня это как-то неочевидно, хотя и интуитивно логично.

arseniiv в сообщении #1449958 писал(а):

Можно проверить так: можем ли мы орты со старым умножением одним и тем же линейным преобразованием перевести в некоторые $\mathbf i', \mathbf j', \mathbf k'$, для которых старое умножение, выраженное в этих новых $\mathbf i', \mathbf j', \mathbf k'$, будет выглядеть как новое. Если да, это грубо говоря то же самое умножение и ничего страшного не произошло. Если нет, это просто другой закон умножения, не обязательно чем-то плохой.

Вот например можете принять $\mathbf i' = -\mathbf i, \mathbf j' = \mathbf j, \mathbf k' = \mathbf k$, что получится?

Если я правильно понял, что мне нужно было сделать, то получается $\mathbf i'\times\mathbf j'=-\mathbf k', \mathbf j'\times\mathbf k'=-\mathbf i', \mathbf k'\times\mathbf i'=-\mathbf j'$. Орты $\mathbf i', \mathbf j', \mathbf k'$ направлены так же, как и оси нашей привычной правой системы. А полученные выше равенства определяют векторные произведения ортов $\mathbf i', \mathbf j', \mathbf k'$ между собой, причем определения этих векторных произведений такие, как в левой системе, то есть движение происходит против часовой стрелки. Ещё видно, что указанное линейное преобразование является инверсией одной из осей, а вследствие этого правая система переходит в левую и наоборот.
-----------------
Сегодня я нашёл контрпример. Если мы примем, как я писал раньше, $\mathbf i\times\mathbf j=-\mathbf k, \mathbf j\times\mathbf k=\mathbf i, \mathbf k\times\mathbf i=\mathbf j$, и посчитаем $\mathbf a(\mathbf a\times\mathbf b)$, то мы вообще говоря не получим ноль. Этот факт мне кажется принципиальным, я думаю, этого достаточно, чтобы отрицательно ответить на мой третий вопрос

misha.physics в сообщении #1449927 писал(а):

Например, напишем $\boldsymbol{i}\times\boldsymbol{j}=\boldsymbol{-k}$, $\boldsymbol{j}\times\boldsymbol{k}=\boldsymbol{i}$, $\boldsymbol{k}\times\boldsymbol{i}=\boldsymbol{j}$. Меня интересует, можно ли так написать (по соглашению) или нельзя (принципиально).

А если мы изменим знаки сразу для всех трёх соотношений, то получим $\mathbf a(\mathbf a\times\mathbf b)\equiv0$.

[arseniiv]

misha.physics в сообщении #1450335 писал(а):

А если мы изменим знаки сразу для всех трёх соотношений, то получим $\mathbf a(\mathbf a\times\mathbf b)\equiv0$.

Так это верно и в обычном случае, ведь $\mathbf a\times\mathbf b\perp\mathbf a$. Если сменить все знаки, то мы ведь просто поменяем знаки всех векторных произведений, а это не страшно, а просто как будто мы сменили у всего ориентацию.

misha.physics в сообщении #1450335 писал(а):

Теперь, во втором случае мы тащим с собой ориентацию, то есть тот факт, что в разных системах соотношения (векторные произведения) между ортами отличаются знаком. Но в первом случае мы ведь тоже тащим с собой ориентацию, в том месте когда говорим о поворотах против часовой стрелки и по часовой стрелки для разных систем. То есть, мне кажется, что мы тащим ориентацию и там и там. Просто в одном случае информация об этой ориентации состоит в противоположных поворотах, а другая - в противоположных знаках. Получается, что эти два способы эквивалентны.

В принципе да, но если мы задаём произведение таблицей умножения ортов (и зная их ориентацию), то нам не нужно больше рассматривать системы координат, законы умножения для любого другого базиса получатся автоматически при выражении его через эти исходные орты.

misha.physics в сообщении #1450335 писал(а):

Просто для меня это как-то неочевидно, хотя и интуитивно логично.

Ещё такую картинку можно: представьте, что по краю каждой грани течёт ток (везде одинаковой силы) и при склеивании двух в одну, чтобы ток опять тёк лишь по краю, двум токам на склеиваемых рёбрах надо вместе нейтрализоваться.

Дальше я пока не проверял вычисления, спать хочется, может кто-то другой это сделает…

[Munin]

arseniiv в сообщении #1450458 писал(а):

Так это верно и в обычном случае, ведь $\mathbf a\times\mathbf b\perp\mathbf a$.

Вы злодей. Я глаза сломал. Какая в этой формуле ассоциативность?

-- 02.04.2020 16:07:48 --

misha.physics
В общем, если вы хотите получить какую угодно алгебраическую структуру - вы можете задавать очень разные соотношения. Если вы хотите от неё хороших свойств (ассоциативность-дистрибутивность, линейность, ненулёвость), ваша свобода сильно ограничивается. Но эти свойства надо явно оговорить.

В некоторый момент, когда этих свойств набирается достаточно много, остаётся всего один вариант, или два: стандартное векторное произведение и его зеркальное отражение.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1450460 писал(а):

Вы злодей. Я глаза сломал. Какая в этой формуле ассоциативность?

Пока я не успел ввести операцию $\perp$, левая.

[misha.physics]

arseniiv в сообщении #1450458 писал(а):

Так это верно и в обычном случае, ведь $\mathbf a\times\mathbf b\perp\mathbf a$.

Да, я как раз это и имел ввиду, что в обычном случае $\mathbf a$ перпендикулярен $\mathbf a\times\mathbf b$, это свойство мне кажется важным, поэтому мне хотелось его сохранить. Предложенный же мною вариант изменения знака для только одного соотношения (да и для только двух) этим свойством не обладает, поэтому этот вариант отпадает.

Munin в сообщении #1450460 писал(а):

В некоторый момент, когда этих свойств набирается достаточно много, остаётся всего один вариант, или два: стандартное векторное произведение и его зеркальное отражение.

Спасибо.

(Мои заблуждения относительно терминологии)

Я почему-то раньше представлял себе, что если мы будем отражать в зеркале, например, правую систему, то в зависимости от того как мы расположим эту систему относительно зеркала мы можем получить или правую или левую систему, из-за этого я путался и понятие зеркального отражения мне казалось неудачным. Я понимал, что для перехода от правой системы к левой нужно изменить направление (сделать инверсию) одной или трёх осей и из-за этого думал, что "зеркальное отражение" касается каждой из осей независимо. Но сделав только что каркас трёхмерной системы, и как не крутя её перед зеркалом, понял, что зеркальное отражение всегда переводит правую систему в левую и наоборот

[arseniiv]

misha.physics в сообщении #1450547 писал(а):

это свойство мне кажется важным, поэтому мне хотелось его сохранить

Да, оно действительно важное. Оно как минимум необходимо, чтобы смешаное произведение давало ориентированный объём параллелепипеда, натянутого на векторы.

-- Чт апр 02, 2020 20:54:30 --

И смешаное произведение тоже связано с внешним. Итого их уже два, и есть ещё третье легко изучаемое произведение, «псевдоскалярное», как я видел его называли*, определённое для векторов, живущих в плоскости. Оно даёт результатом псевдоскаляр, если аргументы — два вектора (ровно так же как векторное даёт для них псевдовектор**), и если обозначить его $\times'$, определяется для правого базиса так: $\mathbf i\times'\mathbf j = -\mathbf j\times'\mathbf i = 1$, $\mathbf i\times'\mathbf i = \mathbf j\times'\mathbf j = 0$. Можно считать, что такое произведение — это $z$-компонента обычного векторного произведения двух обычных живущих в плоскости $z = 0$ трёхмерных векторов, но вообще оно самостоятельная вещь.

* Честно говоря, название ничем не лучше названия векторного произведения и например биективной нумерации.

** Хотя это, что в контексте (*) иронично, наполовину не попало в название.

[Munin]

misha.physics
Ещё мне кажется, что у вас впечатление, что алгебраическая система как-то заранее "по умолчанию" погружена в наше трёхмерное пространство, где мы живём. Нет. $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ - это просто символы, и $\mathbf{v}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}$ - это просто абстрактная тройка чисел $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$ (а можно возвести в куб и другое множество, даже конечное кольцо остатков). Что такое в этом пространстве "правое" и "левое" - мы решаем условно, своим произволом.

-- 02.04.2020 19:37:09 --

arseniiv в сообщении #1450552 писал(а):

«псевдоскалярное», как я видел его называли*

Или "косое", и разумеется, оно же внешнее exterior $\wedge$ (не путать с outer).