Делится

[nnosipov]

При каких натуральных $m$ и $n$ число $m^3+n^3-4$ делится на число $m^2+n^2$, если известно, что последнее является простым?

P.S. По-видимому, без условия простоты задача была бы очень сложной (судя по компьютерным экспериментам). А так как есть --- вполне себе задача для развлечения.

[Mihr]

(Оффтоп)

$m=1, n=2$ или $m=n=1$

[nnosipov]

Ответ, конечно, правильный. Надеюсь, кто-нибудь напишет и доказательство.

Если не предполагать простоту числа $m^2+n^2$, то искомых пар $(m,n)$, скорее всего, бесконечно много, но доказывать это я не умею.

[Mihr]

Ну, доказательство несложное. Могу написать, но лучше пока подожду, может, кто-то ещё задачей заинтересуется.

-- 01.04.2020, 12:58 --

P.S. Говоря о простоте, я имел в виду, конечно, предложенную Вами задачу, а не ту, которая Вам не поддаётся

[Andrey A]

nnosipov в сообщении #1450179 писал(а):

... доказательство.

Попробую.

$m^3+n^3 \equiv 4 \mod (m^2+n^2)\ \ (1).$
$(m+n)(m^2-mn+n^2) \equiv -mn(m+n),$ откуда
$3mn(m+n) \equiv -12.$
Складывая почленно с $(1)$, получаем
$(m+n)^3 \equiv -2^3.$
$(m+n)^3+2^3=(m+n+2)((m+n-1)^2+3).$
Первая скобочка делится на $m^2+n^2$ только в случаях, указанных Mihr. Займемся второй.
$(m+n-1)^2 \equiv -3.$
$m^2+n^2+1+2mn-2m-2n \equiv -3.$ Откидывая квадраты и деля на $2$, получаем
$(m-1)(n-1)+1\ \vdots \ m^2+n^2.$ В общем случае делимое меньше делителя.

А для составного да, неоднозначно. Вторую скобку может делить простое вида $12k+1$ или произведение таковых, но как это связать по величине не очень понятно.

[nnosipov]

Да, господа, все верно. Недолго задачка продержалась Что касается дальнейшего (поиск бесконечной серии решений без ограничения на простоту), то пока идея одна: искать в виде многочленов от параметра $m=f(t)$, $n=g(t)$ (вдруг повезет и они есть).