Проверить сходимость

[KappaGolden]

Проверить на сходимость:

a)$\int\limits_{0}^{\infty}x^{\frac{4}{3}\alpha} \arctg(\frac{\sqrt{x}}{1 + x^\alpha})dx$

b)$\int\limits_{1}^{\infty}\frac{\ln^\alpha \ch(x)}{x^2 \ln^3(1 + \frac{1}{x})}$

На самом деле, я не очень понимаю как это делать. у меня было несколько идей: я пытался использовать признак Дирихле для сходимости выбрав за бесконечно малую функцию, функцию артангенса, но в любом случае у $x^{4\alpha/3}$первообразная не ограничена... Также я попытался применить признак Абеля, но артангенс не монотонная функция, значит я не смогу применить этот признак.

Подскажите, как решать.

[Dan B-Yallay]

KappaGolden в сообщении #1449084 писал(а):

артангенс не монотонная функция,

[KappaGolden]

Dan B-Yallay в сообщении #1449086 писал(а):

KappaGolden в сообщении #1449084 писал(а):

артангенс не монотонная функция,

Я имею в виду, что не монотоннен арктангенс от тех аргументов, которые указаны в примере.

[Dan B-Yallay]

Хорошо. Давайте рассмотрим первый пример. При $x \to \infty $ что происходит с самим арктангенсом, куда он стремится, в зависимости $\alpha$ ?

[KappaGolden]

При $\alpha> 1/2$ арктангенс стремится к 0, при $\alpha = 1/2$ арктангенс стремится к $\pi/4$, при $\alpha< 1/2$ арктангенс стремится к $\pi/2$

[Dan B-Yallay]

KappaGolden в сообщении #1449106 писал(а):

При $\alpha$ > 1/2 арктангенс стремится к 0, при $\alpha = 1/2$ арктангенс стремится к $\pi$/4, при$\alpha$ < 1/2 арктангенс стремится к $\pi/2$

Значит при $\alpha \ge 1/2$ говорить о сходимости интеграла не приходится, верно? Кстати, альфа может быть еще и отрицательным(ой).

[KappaGolden]

Но при $\alpha < 0$ арктангенс все ещё стремится к $\pi/2$

[Someone]

KappaGolden в сообщении #1449114 писал(а):

Но при $\alpha < 0$ арктангенс все ещё стремится к $\pi/2$

Ну и что?

[Dan B-Yallay]

KappaGolden в сообщении #1449114 писал(а):

Но при $\alpha < 0$ арктангенс все ещё стремится к $\pi/2$

Зато $x^{\frac 3 4 \alpha} \to ...? \quad x \to \infty$

[Pphantom]

KappaGolden, разберитесь, пожалуйста, с набором формул. Я уже второй раз в этой теме поправляю за вами мелкие огрехи.

[KappaGolden]

Dan B-Yallay в сообщении #1449116 писал(а):

KappaGolden в сообщении #1449114 писал(а):

Но при $\alpha < 0$ арктангенс все ещё стремится к $\pi/2$

Зато $x^{\frac 3 4 \alpha} \to ...? \quad x \to \infty$

Я думал мы говорим все ещё про артангенс.

Что касается $x^{4\alpha/3}$, то ясно что при $\alpha < 0$ x будет стремится к нулю, если $\alpha > 0$ к $\infty$

[Dan B-Yallay]

KappaGolden в сообщении #1449125 писал(а):

Я думал мы говорим все ещё про артангенс.

Да, вы правы. Появились ли у вас идеи куда двигаться далее, или возможно вы поняли куда всё это идет?

[KappaGolden]

Dan B-Yallay в сообщении #1449126 писал(а):

KappaGolden в сообщении #1449125 писал(а):

Я думал мы говорим все ещё про артангенс.

Да, вы правы. Появились ли у вас идеи куда двигаться далее, или возможно вы поняли куда всё это идет?

На самом деле я не совсем понял, что нужно делать дальше. Возможно мы хотим с помощью пределов понять, какой признак мы можем применить?

[Otta]

KappaGolden в сообщении #1449239 писал(а):

Возможно мы хотим с помощью пределов понять, какой признак мы можем применить?

Это Вы пытаетесь понять ) надеюсь ))
На самом деле, что тут применять, довольно очевидно.

KappaGolden в сообщении #1449084 писал(а):

признак Дирихле

и сопутствующего ему Абеля очень любят к месту и не к месту первокурсники, хотя их же предупреждают, что нет большого смысла ими пользоваться для интегралов от знакопостоянных функций. А Ваша - именно такая.
Для знакопостоянных надо всегда начинать с теорем сравнения. И уже только если не получится, по объективным причинам, думать дальше.

[Dan B-Yallay]

KappaGolden в сообщении #1449239 писал(а):

На самом деле я не совсем понял, что нужно делать дальше. Возможно мы хотим с помощью пределов понять, какой признак мы можем применить?

Смотрите: у вас интеграл (мы все еще о первом примере) содержит две нехорошести, одна в нуле и вторая в бесконечности. Если разбить интеграл на два: $\int_0^1 + \int_1^\infty$ то можно найти, при каких $\alpha$ сходится первый и при каких - второй. Пересечение даст вам те значения альф, при которых весь интеграл сходится.

Из признаков, на мой взгляд, достаточно сравнения.