Квадратичная форма в банаховом пространстве

[demolishka]

Пусть $\mathbb{E}$ - вещественное банахово пространство, $P \in \mathcal{L}(\mathbb{E},\mathbb{E}^{*})$ - ограниченный оператор. Рассмотрим квадратичную форму $V(v) := \langle v, Pv \rangle$. Предположим, что существует разложение в прямую сумму $\mathbb{E} = \mathbb{E}^{s} \oplus \mathbb{E}^{u}$ так, что $V(v) > 0$ для $v \in \mathbb{E}^{s}$, $v \not= 0$, и $V(v) < 0$ для $v \in \mathbb{E}^{u}$, $v \not= 0$. Предположим, что для некоторой последовательности $v_{k} \in \mathbb{E}$ выполнено $V(v_{k}) \leq 0$, причем $v_{k} = v^{s}_{k} + v^{u}_{k}$ и $v^{u}_{k} \to 0$ при $k \to \infty$. Верно ли, что $V(v_{k}) \to 0$? Для ограниченной последовательности $v_{k}$ это верно. Для общего случая доказать не получается. Можно предполагать, что $\mathbb{E}^{u}$ конечномерно и проектор на $\mathbb{E}^{u}$ (относительно разложения) ограничен.

[demolishka]

Я на самом деле даже не знаю справедливо ли исходное утверждение для самосопряженного случая, когда $\mathbb{E}$ - гильбертово пространство.

Но на самом деле мне нужно более слабое свойство заключающееся в том, что существуют такие подпространства $\mathbb{E}^{+}$, $\mathbb{E}^{-}$, что $\mathbb{E} = \mathbb{E}^{+} \oplus \mathbb{E}^{-}$ и которые обладают свойствами выше (со знаком $V$ на них и сходимостью), если даны исходные $\mathbb{E}^{s},\mathbb{E}^{u}$ со свойством знака. Тогда для самосопряженного случая роль таких пространств играют спектральные подпространства оператора. Забыл сказать, что оператор $P$ еще имеет симметричную форму $\langle u, Pv \rangle = \langle v, Pu \rangle$, т. е. очень похож на самосопряженный.

[mihaild]

Я или туплю, или совсем простой контрпример (для несамосоряженного случая).
Возьмем $\mathbb E = l_2$, $P e_0 = -(1, 1/2, 1/4, \ldots, 1/2^n, \ldots)$, $Pe_n = \frac{e_n}{n^2\cdot 2^{2n + 1}}$. Соответственно $\mathbb E^s = \langle e_1, e_2, \ldots\rangle$ и $\mathbb E^u = \langle e_0\rangle$.
Возьмем $v_k^u = \frac{e_0}{n}$ и $v_k^s = n\cdot 2^n \cdot e_n$. Соответственно $P v_k = -\left(\frac{1}{n}, \frac{1}{2n}, \frac{1}{4n}, \ldots, \frac{1}{2^n \cdot n \cdot 2}, \frac{1}{n\cdot 2^{n+1}}, \ldots\right)$ и $\langle v_k, P v_k\rangle = -\frac{1}{n^2} - \frac{1}{2}$.

[demolishka]

mihaild, вроде правильно. Так что может симметричность тут и вправду неспроста. С ней бы разобраться...

[demolishka]

demolishka в сообщении #1449211 писал(а):

Но на самом деле мне нужно более слабое свойство заключающееся в том, что существуют такие подпространства $\mathbb{E}^{+}$, $\mathbb{E}^{-}$, что $\mathbb{E} = \mathbb{E}^{+} \oplus \mathbb{E}^{-}$ и которые обладают свойствами выше (со знаком $V$ на них и сходимостью), если даны исходные $\mathbb{E}^{s},\mathbb{E}^{u}$ со свойством знака.

Такие пространства действительно можно построить. Пусть $\mathbb{E}^{-}$ - любое отрицательное пространство максимально возможной размерности (например, $\mathbb{E}^{u}$) и предположим, что оно конечномерно. Тогда $[u, v] :=-\langle u,Pv\rangle$ задает на $\mathbb{E}^{-}$ скалярное произведение. Для всякого $u \in \mathbb{E}$ отображение $v \mapsto [v,u]$ есть линейный функционал на $\mathbb{E}^{-}$. По теореме Рисса найдется такой $\Pi^{-}u \in \mathbb{E}^{-}$, что $[v,u] = [v,\Pi^{-}u]$ для всех $v \in \mathbb{E}^{-}$. Пусть $\mathbb{E}^{+} := \operatorname{Ker}\Pi^{-}$. Тогда ясно, что $\mathbb{E} = \mathbb{E}^{+} \oplus \mathbb{E}^{-}$ и относительно этого разложения $V(u)=V(u^{+})+V(u^{-})$, что дает свойство со сходимостью.