Интегралы движения

[Shpilev]

Дан следующий потенциал и нужно найти интегралы движения:

\[ \begin{gathered} U = \sum\limits_a {((\alpha x_a + \beta y_a )^2 + (\gamma x_a + \delta z_a )^2 )} \hfill \\ \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \]

Нашел силу что служит причиной такого потенциала, используя соотношение:

\[ F = - \nabla U \]

Однако дальше не могу найти ни одного интеграла движения (кроме Энергии). Подскажите что делать (преподаватель сказал что тут как минимум 4 возможных варианта)

[Munin]

Меня терзают смутные сомнения, что поворотом системы координат можно разделить переменные на потенциал гармонического осциллятора и свободное движение. В свободном движении сохраняются импульсы, в осцилляторе... не помню что. Фаза?

[Shpilev]

А можно поподробнее про гармонический осциллятор и свободное движение.

[Munin]

Ну, если у вас есть лагранжиан типа

$$L=\frac{m}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2)-\frac{k}{2}x^2$$

(то есть двумерное движение частицы с потенциалом, зависящим только от одной координаты), то систему можно рассматривать как состоящую из двух независимых подсистем: одна описывается координатой $x,$ и представляет собой пружинный маятник (гармонический осциллятор), а другая описывается координатой $y,$ и представляет собой просто свободно движущуюся частицу. У свободно движущейся частицы интегралом движения является импульс

$$p_y=\frac{\partial L}{\partial\dot{y}}=m\dot{y},$$

или, что практически эквивалентно, её энергия. У осциллятора, как я уже сказал, не помню, ну положим тоже энергия. Таким образом, у нас уже два интеграла: две энергии для обеих подсистем. Являются ли начальные смещения (=фаза для осциллятора) интегралами движения, я не помню, надо более знающих людей подождать.

В вашем случае переменных три (кажется, для каждой частицы, ну рассмотрим одну частицу), так что ситуация такая: вам надо этот потенциал рассмотреть как квадратичную форму и привести к собственным осям, тогда он получится в виде

$$U=0x'^2+k_yy'^2+k_zz'^2,$$

то есть распадающийся на одно свободное движение и два разных осциллятора (при некоторых коэффициентах может оказаться два свободных движения). Эти подсистемы между собой никак не будут взаимодействовать (да и разные частицы, как я погляжу, не взаимодействуют). Поэтому для каждой из них будет свой интеграл движения, являющися интегралом движения системы в целом.

[nestoklon]

Ну, классика -- через теорему Нётер. Надо понять, какие преобразования сохраняют гамильтониан. Потом есть стандартная процедура, позволяющая выписать все интегралы.
Обычно эта процедура не проделывается, так как можно догадаться до ответа по виду таких преобразований.
И ещё, в данном случае я бы начал с того, что разделил переменные. Должно стать проще. Произведения координат иначе мешаются..