Вопрос по высшим производным и формуле Тейлора

[starper]

mihaild, да, поспешил с выводами, спасибо) А можно уточнить, что значит

mihaild в сообщении #1446703 писал(а):

чтобы предел был аналитическим

[mihaild]

starper, классическая теорема: если есть последовательность аналитических в области функций, равномерно сходящаяся на любом компакте, то предел тоже аналитический.

[vpb]

starper в сообщении #1446350 писал(а):

Может быть, кто-нибудь знает, почему так происходит?

starper в сообщении #1446385 писал(а):

Пришла мысль, если $n+1$ производная равна нулю на отрезке, то $n$ производная $= \operatorname{const}$, а значит $n-1$ производные тоже совпадают у многочлена и функции ну и так далее, получается, что значения этих функций совпадают на отрезке, вроде же верно? И тогда получается, что чем меньше $n+1$ производная на отрезке, тем больше совпадают многочлен и функция на отрезке

Ну вот, прекрасно, Вы сами догадываетесь уже, что там и почему происходит.

Есть еще такой общий принцип: если в какое-то утверждение или задачу входит натуральный параметр, то для понимания надо сначала смотреть на ситуацию, в которой этот параметр мал (скажем, равен $1$), обдумать, потом на $n=2$ смотреть, потом на общее $n$. (А иногда наоборот, проще понять требуемое для больших $n$). И вообще надо от более простой ситуации к более сложной переходить постепенно. Скажем, задаться вопросом: что можно сказать про поведение функции, если она непрерывна в точке $x_0$ ? Непрерывна в интервале, содержащем $x_0$ ? Дифференцируема в $x_0$ ? Дифференцируема в интервале, содержащем $x_0$ ? Дифференцируема в этом интервале, причем производная там непрерывна ? Дважды дифферецируема в точке ? Дважды дифференцируема в инервале ? И т.д. И как это отражается на ее приближенных выражениях, типа формулы Тейлора, в окрестности этой точки ?

Можете попробовать доказать в качестве упражнения (в учебниках этого нет), что если $f$ дифференцируема в некотором интервале, содержащем $x_0$, и производная в этом интервале лишицева

(Липшицевость)

Функция $g$ липшицева в интервале $(a,b)$, если существует константа $L>0$ такая, что $|f(x)-f(y)|<L|x-y|$ для любых $x,y\in(a,b)$.

то $f(x)=f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0)+O((x-x_0)^2)$. Если, читая учебники, Вы самостоятельно решите эту задачу, то поймете, что такое формула Тейлора и с чем её кушают. (Увидев соответствующие понятия, так сказать, "в работе", а не со стороны).

[starper]

vpb, спасибо за совет!
Насчет задачи, в силу теоремы Лагранжа $f(x) = f(x_0) + (f'(x_0) + f'($\xi$) - f'(x_0))(x-x_0)$, тогда $f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + (f'($\xi$) - f'(x_0)(x-x_0)$.
А так как производная липшицева, то найдется константа $L$, такая, что
$f(x) \leqslant f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+L($\xi$ - x_0)(x-x_0)
Тогда $f(x)\leqslant f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+L(x-x_0)^2, так как $\xi$ находится между $x$ и $x_0$, ч. т. д.
Из формулы Тейлора, как я понимаю, это утверждение следует, так как если $f'$ ограничена некоторой линейной функцией, то $f''$ ограничена константой, и тогда третий член разложения имеет вид $L(x - x_0)^2$

[deep blue]

От меня тоже пару задач на понимание:

1. Пусть все коэффициенты ряда Тейлора некоторой определенной на неотрицательном луче функции f - колоссально взрываются (сильно и неограниченно растут с ростом n) при любом наперед заданном $x_0\ge0$ .
Ясно что в этом случае ряд Тейлора почти всюду расходится. Докажите, что на самом деле:
а) В некоторой окрестности $x_0$ ряд обязательно сходится.
б) Более того, функция f - обязательно аналитическая.
PS Надеюсь не ошибся в формулировке результата, тем интереснее будет решать задачу.

2. Приведите примеры аналитической функций f, имеющей такой ряд Тейлора в точке $x_0$, что по-началу с ростом n погрешность приближения функции частичной суммой ряда - растет. То есть наиболее точными оказываются наиболее ранние и грубые оценки. И лишь только при совсем больших n погрешность, как и подобает, начинает падать.

3(просто любопытно). Существует известный пример $f(x)=e^{-1/x^2}$, доопределенной нулем, бесконечно-дифференцируемой, неаналитической в нуле функции. Тем не менее, если её разложить в ряд в точке $x_0=-1$ или в точке $x_0=1$ она видимо будет в них аналитической. Существует ли пример нигде неаналитической, бесконечно дифференцируемой на R функции?

[starper]

deep blue, Насчет пункта a) первой задачи, то ли я неправильно понимаю условие, то ли формулу Коши-Адамара, разве нельзя построить такую последовательность коэффициентов, чтобы при любом $(x_0+\varepsilon)$, кроме $\varepsilon = 0$ ряд Тейлора расходился?

[deep blue]

starper Что-то меня тоже берут сомнения, я возможно немного ошибся в формулировке 1-ой задачи. Сейчас пока лень восстанавливать точный результат...

[Someone]

starper в сообщении #1446862 писал(а):

разве нельзя построить такую последовательность коэффициентов, чтобы при любом $(x_0+\varepsilon)$, кроме $\varepsilon = 0$ ряд Тейлора расходился?

Конечно, можно. Достаточно, чтобы последовательность коэффициентов росла быстрее любой геометрической прогрессии. Пример очень простой.

[mihaild]

Меня в первой как минимум смущает одновременно "ряд Тейлора почти всюду расходится" и "в некоторой окрестности $x_0$ ряд сходится". А еще то, что в первой строчке по $x_0$ квантор всеобщности, а в а) - непонятно какой.

[starper]

deep blue в сообщении #1446855 писал(а):

2. Приведите примеры аналитической функций f, имеющей такой ряд Тейлора в точке $x_0$, что по-началу с ростом n погрешность приближения функции частичной суммой ряда - растет. То есть наиболее точными оказываются наиболее ранние и грубые оценки. И лишь только при совсем больших n погрешность, как и подобает, начинает падать.

Имеется ввиду для некоторой точки или для всех? Если для некоторой точки, то можно любую стандартную функцию взять, вроде синуса, а если для всех, то мне кажется, что такое невозможно, так как всегда найдется окрестность, что $n$-я частичная сумма приближает не хуже, чем $n-k$-я
Например, такое рассуждение для случая n = 2 и n =3: сравним $f(x)-f(x_0)+a(x-x_0)$ и $f(x) - f(x_0) + a(x-x_0) +b(x-x_0)^2$. Значения, и первая производная у них совпадают, а вторая для квадратичного приближения нулевая, а для линейного нет (в случае если нулевая, то $b = 0$ и погрешность одинаковая) Остальные производные у этих функций совпадают. Тогда получается, что в некоторой окрестности $x_0$ первая производная, и, следовательно значения второй функции растут медленнее, чем у первой, и получается, что погрешность квадратичного приближения не может быть меньше.

[deep blue]

Вроде нашел материалы. Постараюсь завуалировать известную теорему и нигде не провраться (если снова проврусь, то просто выложу ссылки на результаты):
Пусть у f на [0,1] производные всех порядков (включая нулевой) - монотонно возрастают. То есть ряды Тейлора для любых $x_0\in[0,1]$ имеют неотрицательные коэффициенты.
Казалось бы - раз все производные возрастают на [0,1], то они могут взрываться как угодно. Ан нет:
а) Ряд Тейлора для любого $x_0\in[0,1]$ сходится для любого $x\in[0,1]$
б) Более того f аналитическая на $[0,1]$.
Обратно, пусть ряд Тейлора функции f имеет взрывные положительные коэффициенты в нуле. Такие что ряд расходится уже для $x=0.3$. Тогда можно утверждать что одна из n-ых производных в одной из точек отрезка $[0,0.3]$ - отрицательна!

starper По второй задаче все правильно! Хорошо что рассмотрели оба варианта.

[vpb]

starper в сообщении #1446854 писал(а):

А так как производная липшицева, то найдется константа $L$, такая, что

Мысль в правильном направлении (да собственно Вы задачку и решили), только правильно надо было писать что-то вроде
$|f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)|<L|\xi-x_0||x-x_0|$.
Или $f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+R$, где $R$ --- некоторое число такое, что $|R|<L|\xi-x_0||x-x_0|$. (словосочетание "где $R$ --- некоторое число такое, что" обычно опускают, для краткости, и пишут просто "где $|R|<L|\xi-x_0||x-x_0|<L(x-x_0)^2$. )

[Someone]

Хочу обратить внимание на известную функцию

$$f(x)=\begin{cases}\exp\left(-\frac 1{x^2}\right)\text{, если }x\neq 0\text{,}\\ 0\text{, если }x=0{.}\end{cases}$$

Она бесконечно дифференцируема на всей числовой прямой, её ряд Тейлора в точке $x_0=0$ имеет вид $f(x)\sim 0+0x+0x^2+0x^3+\ldots$, так что он всюду сходится, но его сумма ни в одной точке, кроме $x=x_0$, не совпадает с $f(x)$.
Используя эту функцию, можно соорудить функцию, которая также бесконечно дифференцируема на всей числовой прямой, но ни на каком интервале не разлагается в степенной ряд. Более того, где-то мне попадалось утверждение, что в пространстве всех бесконечно дифференцируемых на числовой прямой (точно не помню, может быть, на отрезке) функций такие патологические функции составляют подавляющее большинство (образуют множество второй категории Бэра).

[starper]

vpb, да, немного не доработал, спасибо)
deep blue, может все-таки на луче определена? А то при походе вправо засчет монотонного роста строятся оценки, а влево уже не получается. Например, если в единице коэффициенты многочлена растут быстрее, чем, например, прогрессия со знаменателем $0,1$ то тогда ряд расходится на отрезке $[0;0,9]$. И вроде бы это не противоречит тому, что значения и каждая из производных ограничены на отрезке. Другое дело если отрезок заменить на луч, тогда если коэффициенты многочлена, построенного в $x_0$ растут быстрее чем некоторая геометрическая прогрессия(из чего следует что ряд Тейлора расходится), тогда производные в точке растут быстрее, чем эта геометрическая прогрессия и тогда и функция тоже раходится. Например если ряд расходится при $(x-x_0) = 0,1$, то есть производные растут быстрее, чем геометрическая прогрессия со знаменателем $0,1$, то если какая-то k-я производная равна$ A$, то из-за того что вправо производная растет, то оценить значение функции в точке $x_0 + 0,1 $ можно оценить снизу (с помощью теоремы Лагранжа) как$ A(0,1)^k$, где $A$ больше, чем $0,1^k$. Для k+1 производной эта оценка увеличится, и так далее, эту оценку можно увеличивать до бесконечности, значит если ряд Тейлора расходится, то и функция расходится, но из условия, как я понял, производные и функция везде определены.
Для отрезка не получается решить

[deep blue]

starper, Да, уж. Как говорится есть нюанс. Итого, при прежних условиях (неотрицательности всех производных на отрезке[0,1]), имеем:
а) Гарантированная сходимость ряда на [0,1] получается для любых $x,x_0\in[0,1]$ только при $x\ge x_0$.
б) Аналитичность функции на [0,1]

Если сделать, как вы предлагаете, производные положительными на положительном луче, то по (а) $x$ может быть сколь угодно больше $x_0$ для того чтобы ряд сходился. Но тогда очевидно ряд будет сходится и при сколь угодно меньшем х на положительном луче. Так что да, можно и так задачу переформулировать.

(На всякий случай прилагаю простейшее доказательство:)

Гурс. Курс математического анализа. Том 1. Часть 2. Стр. 88 писал(а):

Переделать его на случай $x<<x_0$ у меня не получилось. Было неожиданностью, что при симметричном отражении функции относительно обоих осей, её производная не выдерживает тех же преобразований. Например рассмотрим $e^x$ на $R$. Все её производные положительны. Отражая её симметрично относительно осей получаем $-e^{-x}$ у которой знаки производных чередуются

Надо будет подумать еще над 3-ей задачей. Someone подсказал идею.