Вопрос по высшим производным и формуле Тейлора

[starper]

Доброго времени суток, уважаемые! Уже довольно много времени потратил на раздумия о том, почему совпадение $n$ производных у многочлена и функции приводит за исключением некоторых случаев к тому что разница между ними в больших окрестностях мала. Почему так происходит в достаточно малой окрестности вроде бы понимаю, что из теоремы Лагранжа следует, а вот почему из совпадения $n$ производных в точке следует что многочлен и функция близки в больших окрестностях уже не понимаю. Пытался разобраться в доказательствах, где выводится остаточный член и в форме Коши и в интегральной форме, понимаю формальные выкладки, но интуитивно не понимаю. Смотрел в нескольких учебниках, но там примерно одинаково эти темы описываются. Может быть, кто-нибудь знает, почему так происходит?

[Otta]

starper
Вы можете сформулировать результат?

[gris]

Может быть для интуитивного ощущения годится такое рассуждение: рассмотрим хорошую гладкую функцию на дискретной сетке. Например, на целых числах. Будем приближать значения производных в нуле численно. Для "нулевой" производной нужно значение в нуле. Для приближения первой производной нужно не менее двух точек. Для n-ной производной нужно по крайней мере $n+1$ значений в различных точках.
То есть для хорошего приближения (без гарантии, конечно) производных больших порядков надо отойти по сетке от нуля в разные стороны на достаточно большие расстояния. Рассмотрим обратную задачу. Допустим у нас есть значения n первых производных в нуле. Попробуем написать систему алгебраических уравнений для их численного приближения. Возможно, что она будет иметь решение. Чем больше производных в нуле мы будем знать, тем на большем расстоянии от нуля мы можем получить возможное приближение функции. Ну и некий многочлен можно натянуть на эти точки. Он будет иметь приближённо такие же значения n производных в нуле.
Конечно, это рассуждение предполагает, что функция достаточно аналитична , а то можно построить очень причудливые бесконечно гладкие функции.

[starper]

Otta
Результат теоремы? Если $f(x)$ $n+1$ раз дифференцируема на отрезке $[a; b]$, то $f(b) = P_n(b) + (f^{\left\lbrace n+1\right\rbrace}(\xi)/(n)!)(b-\xi)^{\left\lbrace n\right\rbrace} (b-a)$, где $P_n(x)$ - многочлен Тейлора, построенный в точке $a$, а $\xi$ - некоторая точка на отрезке $[a; b]$

[pogulyat_vyshel]

starper в сообщении #1446350 писал(а):

функции приводит за исключением некоторых случаев к тому что разница между ними в больших окрестностях мала

а вот как по-вашему разница между многочленом Тейлора в нуле и функцией $\frac{1}{1+x^2}$ мала в окрестности, скажем, $(-10,10)$? просто любопытно

[starper]

gris
Спасибо, интересное рассуждение, но только не понял, например в нуле значение функции 0, а в единице - 2, тогда какое значение для первой производной выберем? 2?

-- 22.03.2020, 21:47 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1446383 писал(а):

а вот как по-вашему разница между многочленом Тейлора в нуле и функцией $\frac{1}{1+x^2}$ мала в окрестности, скажем, $(-10,10)$? просто любопытно

Тут $n+1$ производная нивелирует факториал в знаменателе, вот кстати тот же самый вопрос, почему? Можно даже взять функцию $\frac{1}{1-x^2}$, откуда у производных в нуле информация о том, что в единице эта функция расходится

-- 22.03.2020, 22:24 --

Пришла мысль, если $n+1$ производная равна нулю на отрезке, то $n$ производная $= \operatorname{const}$, а значит $n-1$ производные тоже совпадают у многочлена и функции ну и так далее, получается, что значения этих функций совпадают на отрезке, вроде же верно? И тогда получается, что чем меньше $n+1$ производная на отрезке, тем больше совпадают многочлен и функция на отрезке

[Munin]

starper в сообщении #1446385 писал(а):

Тут $n+1$ производная нивелирует факториал в знаменателе, вот кстати тот же самый вопрос, почему? Можно даже взять функцию $\frac{1}{1-x^2}$, откуда у производных в нуле информация о том, что в единице эта функция расходится

Хе-хе. На комплексной плоскости это одна и та же функция. И расходимость в точках $\pm i$ как раз и приводит к тому, что степенной ряд расходится везде за пределами круга единичного радиуса.

[Mikhail_K]

На самом деле вопрос ТС весьма разумен. Ряд Тейлора использует информацию только о поведении функции в точке $x_0$. Более точно, зная значения функции $f(x)$ в любой сколь угодно малой окрестности точки $x_0$, можно разложить её в ряд Тейлора в этой точке (ну, если она бесконечно дифференцируема). Так почему же ряд Тейлора часто сходится и за пределами этой окрестности? Тут вопрос даже не в том, что на самом деле радиус сходимости бывает разный и где-то ряд Тейлора не сходится. Вопрос в следующем: почему он вообще для многих функций где-либо сходится, кроме самой точки?

Это при первом взгляде кажется даже чудом: если мы знаем функцию $f(x)$ на отрезке $[x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon]$, то, теоретически, вне этого отрезка она может идти вообще как угодно, и у ряда Тейлора нет никакой возможности "угадать" её значения вне этой окрестности.

Чудом это перестаёт казаться после такого соображения: для огромного количества функций, ряд Тейлора нигде и не сходится к самой функции, кроме самой точки, в которой он записан. Именно потому что эти функции "идут как им захочется" и ряд Тейлора при всём желании не может "угадать" их значения вдали от точки, в которой записан. Таких функций на самом деле большинство, просто они "не на слуху". Простейший пример - функция $f(x)=e^{-1/x^2}$ (доопределённая нулём в нуле: $f(0)=0$). Её ряд Тейлора в нуле - тождественный нуль, а сама она не тождественный нуль.

А сходится ряд Тейлора, притом к самой функции, только для очень узкого класса функций - для аналитических. Эти функции имеют такое свойство: зная их значения в любой маленькой окрестности, в той же $[x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon]$, можно восстановить их значения и в других точках. Собственно, ряд Тейлора это и делает. То есть этих функций мало, и каждая из них не может "идти как угодно". Как каждая клетка живого организма содержит ДНК, в которой записана информация обо всём организме в целом, так и поведение аналитической функции в любой сколь угодно малой окрестности определяет эту функцию целиком.

[pogulyat_vyshel]

Mikhail_K в сообщении #1446436 писал(а):

На самом деле вопрос ТС весьма разумен. Ряд Тейлора

Вопрос был про формулу Тейлора, а не про ряд. Большая разница, между прочим.

[deep blue]

Да, формула Тейлора это гораздо более сильный инструмент чем ряд Тейлора. Она имеет место для любых функций как аналитических так и не аналитических.
Ряд Тейлора получается из формулы устремлением $n\to\infty$. Если остаточный член формулы Тейлора при этом стремится к нулю в некоторой фиксированной окрестности точки разложения, то сумма ряда равна исходной функции и представляет некий интерес, иначе ряд может быть совершенно бесполезен. В то время как формула полезна всегда - и для аналитических и для неаналитических дифференцируемых функций.

[Mikhail_K]

Ну, я попытался придать точный смысл тому, что говорил ТС ("в малых окрестностях - понятно, а в больших окрестностях - непонятно").

[arseniiv]

Можно всё равно сделать из аргумента Mikhail_K что-то применимое к вопросу ТС: если коэффициенты ряда Тейлора очень быстро по модулю убывают, то следует ожидать, что конечные начальные его отрезки будут с какой-то длины неплохо так приближать функцию далеко-далеко. Но в таком виде это, конечно, на пальцах, потому что берём ту же прототипическую экспоненту, тейлоровские коэффициенты которой убывают вообще приемлемо, а она всё равно слева ограничена, а никакой многочлен Тейлора нет, то есть условия для этого явления нужно накладывать как следует. (Или например ограничиться многочленами, но это же скучно?)

[Padawan]

starper в сообщении #1446362 писал(а):

Otta
Результат теоремы? Если $f(x)$ $n+1$ раз дифференцируема на отрезке $[a; b]$, то $f(b) = P_n(b) + (f^{\left\lbrace n+1\right\rbrace}(\xi)/(n)!)(b-\xi)^{\left\lbrace n\right\rbrace} (b-a)$, где $P_n(x)$ - многочлен Тейлора, построенный в точке $a$, а $\xi$ - некоторая точка на отрезке $[a; b]$

При $n=0$ или при $n=1$ Вам это интуитивно понятно? Примерно то же самое и при любом $n$.

[starper]

Благодарю всех за помощь! Стало действительно немного понятнее.

Mikhail_K в сообщении #1446436 писал(а):

Таких функций на самом деле большинство, просто они "не на слуху". Простейший пример - функция $f(x)=e^{-1/x^2}$ (доопределённая нулём в нуле: $f(0)=0$). Её ряд Тейлора в нуле - тождественный нуль, а сама она не тождественный нуль.

Спасибо за пример. Такой вопрос, а можно идентифицировать заранее, что функция неаналитична? Например, что с этой функцией не так, что ряд не сходится к ней? Вроде нет разрывов и на комплексной плоскости

[mihaild]

starper в сообщении #1446697 писал(а):

Вроде нет разрывов и на комплексной плоскости

На комплексной плоскости у неё в нуле как раз существенная особенность - посмотрите как она себя ведет при чисто мнимом $x$.
Вообще множество аналитических функций замкнуто относительно всех разумных операций - арифметики, композиции, дифференцирования/интегрирования, и даже чтобы предел был аналитическим достаточно всего лишь равномерной сходимости (на любом компакте).