Бесконечно малые стороны правильного многоугольника в круге

[frostysh]

Вопрос

В окружность с центром $O$ вписано правильный многоугольник, показать что половина стороны этого многоугольника будет бесконечно малой величиной если количество сторон постоянно увеличивать.

Попытки разобраться с решением

Не особо понятный момент почему всегда выполняется неравенство $AO - OK < AK$, допустим мы запишем угол $\alpha$, а дальше через этот угол посчитаем разность, а именно

$$AO - AO \cdot \cos{\alpha} < AO \cdot \sin{\alpha} \quad \quad \cos{\alpha} + \sin{\alpha} > 1,$$

превратим это в функцию $y\left(\alpha = x\right) = \cos{x} + \sin{x} - 1$ и нарисуем ее график, для красоты сверху еще график функции синуса дорисуем.



Правильно ли я довел что неравенство для треугольника $\triangle AOK$ всегда выполняется?

[kotenok gav]

frostysh в сообщении #1446323 писал(а):

почему всегда выполняется неравенство $AO - OK < AK$

Продлите $OK$ до пересечения с окружностью.

[frostysh]

kotenok gav

Тогда разность $AO - OK$ будет равняться нулю, смысл?

[kotenok gav]

В каком смысле нулю? Продлите.

-- 23 мар 2020, 00:57 --

Пусть у вас получится точка M - пересечение OK и окружности. Посмотрите на треугольник AKM, помедитируйте над его углами.

[frostysh]

kotenok gav



То есть катет при меньшем угле $\angle M \mkern -3mu AK$ будет всегда больше катета при большем угле $\angle AMK$, при этом катет $MK$ есть разница $AO - OK$, а катет при меньшем угле сторона $AK$ треугольника $\triangle AOK$? Ну это почти тоже самое что я печатал, хотя понятней намного.

[kotenok gav]

frostysh в сообщении #1446340 писал(а):

То есть катет при меньшем угле $\angle M \mkern -3mu AK$ будет всегда больше катета при большем угле $\angle AMK$, при этом катет $MK$ есть разница $AO - OK$, а катет при меньшем угле сторона $OK$ треугольника $\triangle AOK$?

Да, именно. Только не сторона OK, а AK.

frostysh в сообщении #1446340 писал(а):

это почти тоже самое что я печатал

Чего?

[wrest]

frostysh в сообщении #1446323 писал(а):

Не особо понятный момент почему всегда выполняется неравенство $AO - OK < AK$,

То есть непонятно почему длина одной стороны треугольника меньше сумммы длин двух других сторон? НУ... это...

(Оффтоп)

А нам говорят, что катет 
Короче гипотенузы. 
А я говорю вам: Хватит! 
Устал я от этой обузы. 
Па-ра па-ра па па па-ра 
Короче гипотенузы 
Па-ра па-ра па па па-ра 
Устал я от этой обузы.

[frostysh]

kotenok gav

Вроде разобрался, спасибо! То опечатка была, в голове одно а в чате другое. Тоже самое это в смысле через $y\left(\alpha\right)$.

wrest

Ну да, можно и с неравенства для любого треугольника о сумме двух сторон больше третьей, а именно $AO < AK + OK$, ну с треугольником $\trianle AMK$ понятно хорошо.