Уравнение Ax=b

[pogulyat_vyshel]

Следующее утверждение (сооруженное мной в гараже напильником ) наверняка является следствием какого-то более общего утверждения, причем классического.
Пусть $X,Y$ -- банаховы пространства, причем $X$ -- рефлексивно. Непрерывный оператор $A:X\to Y$ таков,что $\mathrm{Im\,}A'$ замкнут.

Доказать, что если $b\perp\mathrm{Ker\,}A'$ то уравнение $Ax=b$ разрешимо относительно $x$.

-- 11.03.2020, 14:13 --

Банаховость $Y$ вроде и не нужна, только нормированность

[Padawan]

То есть надо показать, что если для любого $f\in Y'$ из $f\mid_{\operatorname{Im} A}=0$ следует $f(b)=0$, то $b\in\operatorname{Im} A$. Это, очевидно, равносильно замкнутости $\operatorname{Im} A$. Значит, надо, используя рефлексивность $X$, доказать, что из замкнутости $\operatorname{Im} A'$ следует замкнутость $\operatorname{Im} A$. Правильно рассуждаю?

[pogulyat_vyshel]

как-то так, да

[Padawan]

Уже много времени прошло. Может решение напишите? Интересно.

[pogulyat_vyshel]

что-то этот форум диаграммы не компилирует
https://yadi.sk/i/Xzfb9W0-iMS3Ig