дифференциальное уравнение, разрешаемое относительно y

[Ivan 09]

Доброго времени суток.
$y=\frac{xy'}{2}+ \frac{y'^2}{x^2}$
Делаю замену
$y'=p$
$y=\frac{xp}{2}+ \frac{p^2}{x^2}$ $(1)$
$dy=pdx$
Первый вопрос по поводу полного дифференциала. У нас же оба слагаемых зависят и от $x$, и от $p$, тогда получается есть два варианта нахождения полного дифференциала? Например, сначала первое слагаемое по "x" брать, потом его же по $p$.
Я делал так.
$dy=\frac{p}{2}dx+\frac{2p}{x^2}dp$

$\frac{p}{2}dx+\frac{2p}{x^2}dp=pdx$

$\frac{dx}{2}+\frac{2}{x^2}dp=dx$

$\frac{2}{x^2}dp=\frac{dx}{2}$

$dp=\frac{x^2}{4}dx$
$p=\frac{x^3}{12}+C$
и потом как я понимаю надо подставить это выражение в (1)?

[Padawan]

Ivan 09 в сообщении #1445777 писал(а):

тогда получается есть два варианта нахождения полного дифференциала

Нет, один. На то он и полный. $dF(x,p)=F'_x dx+F'_p dp$

[pogulyat_vyshel]

вообще-то это не называется решать ОДУ методом приведения к полному дифференциалу

-- 20.03.2020, 11:37 --

Ivan 09 в сообщении #1445777 писал(а):

и потом как я понимаю надо подставить это выражение в (1)?

вот и подставьте

[Ivan 09]

pogulyat_vyshel

в конце учебника приводятся два ответа, у меня ни один не сходятся
на всякий случай напишу
$y=-\frac{x^4}{16}$ и $y=\frac{C}{2}x^2 +C^2$
я понимаю что во втором $Cx^2$ можно оставить
если я возведу в квадрат $p$ и затем поделю на $x^2$ . У меня будет слагаемое, содержащие $x$, а его в ответе нет.

[Padawan]

Ivan 09 в сообщении #1445777 писал(а):

$dy=\frac{p}{2}dx+\frac{2p}{x^2}dp$

Как Вы это получили?

[Ivan 09]

Padawan в сообщении #1446074 писал(а):

Как Вы это получили?

после замены взял

Padawan в сообщении #1445778 писал(а):

$dF(x,p)=F'_x dx+F'_p dp$

получил по этой формуле, или я неправильно сделал на этом шагу?
я по-моему понял недочет, прошу чуть подождать. перерешаю

[pogulyat_vyshel]

уравнение приводится к уравнению Лагранжа заменой $x^2=t$

-- 21.03.2020, 19:21 --

на самом деле даже к уравнению Клеро