Центр масс, метод наименьших квадратов и матожидание

[prof.uskov]

Как связаны центр масс, метод наименьших квадратов и математическое ожидание?
Как со всем этим связана дюрация?

[arseniiv]

МНК связан с псевдообращением оператора например. Матожидание можно связать с центром масс. Всё вместе — вроде никак.

[ShMaxG]

По-разному можно отвечать на Ваш вопрос. Ну например так можно.

Математическое ожидание

$$\mathbb{E}\xi = \int x\, dF_{\xi}(x)$$

можно интерпретировать как центр масс тела, в котором распределение масс определяется функцией распределения $F_{\xi}(x)$. С другой стороны, математическое ожидание есть решение оптимизационной задачи

$$\mathbb{E}\xi = \arg\min\limits_{a} \mathbb{E}(\xi - a)^2$$

для случайной величины $\xi$ с конечным вторым моментом. Тем самым, математическое ожидание минимизирует среднеквадратическое отклонение от случайной величины. На этом наблюдении основано понятие условного математического ожидания (у.м.о.) относительно сигма-алгебры. А именно, функция исходов $\eta(\omega)$ называется у.м.о. относительно сигма-алгебры $\mathcal{S}$, если она минимизирует среднеквадратическое отклонение от случайной величины $\xi$

$$\mathbb{E}(\xi - \eta)^2 \to \min\limits_{\eta\in H_{\mathcal{S}}}$$

на множестве $\mathcal{S}$-измеримых функций; такую величину обозначают обычно $\eta=\mathbb{E}(\xi|\mathcal{S})$. Легко показать, что операция у.м.о. есть ортопроектор на пространство $H_{\mathcal{S}}$. Значения у.м.о. $\mathbb{E}(\xi | \zeta = y)$ (для какой-либо случайной величины $\zeta$) называются еще в литературе регрессией. В случаях, когда ищется у.м.о. компонент нормального вектора относительно сигмы-алгебры, порожденной другими компонентами этого вектора, то оказывается, что у.м.о. есть линейная функция от случайных величин из условия, т.е.

$$\mathbb{E}(X | X_1, \dots, X_n) = c_0 + \sum\limits_{k=1}^n c_k X_k, \ c_0 = \mathbb{E}\left(X - \sum\limits_{k=1}^n c_k X_k\right).$$

Поэтому задача поиска у.м.о. компоненты нормального случайного вектора относительно других компонент того же вектора по сути представляет собой задачу поиска коэффициентов $c_i$, $i=1,\dots,n$ так, чтобы

$$\mathbb{E}\left(X - c_0 - \sum\limits_{k=1}^n c_k X_k\right)^2\to\min.$$

А это можно интепретировать как применение метода наименьших квадратов для того, чтобы аппроксимировать $X$ величинами $X_1$, ..., $X_n$.

Не знаю, что такое дюрация, но недолгий поиск в гугле подсказывает, что в каких-то финансовых моделях эта величина является одним из коэффициентов в задачах регрессии. Так что связь между всеми Вашими понятиями есть, но... что она может дать? :)

Может быть при изучении понятия дюрации Вы столкнулись с кучей терминов и интересуетесь связью между ними? Может быть так просто случайно оказалось, что этот термин требует понимания разделов теорвера, мат. статистики и финансовой математики, а какое-то глубокое понимание связей между всеми ними не столь важно?

[prof.uskov]

ShMaxG, спасибо. Дюрация - это время средневзвешенное платежа, полученного из потока платежей.
Если посмотреть на расчетную формулу дюрации Макколея, то несложно найти аналогию с центром масс невесомого стержня с шариками массой пропорциональной суммам соответствующих платежей, расположенных на расстоянии от начальной точки пропорциональном времени платежа.
Но ведь можно построить и другие формулы для дюрации, используя не матожидание, а медиану или моду.

[hurtsy]

prof.uskov в сообщении #1444243 писал(а):

другие формулы для дюрации, используя не матожидание, а медиану или моду

Имхо, вам уже разрешили это. А что Вы собираетесь рассматривать бесконечные потоки платежей, имхо никакая бухгалтерия не позволит . , а для конечных потоков платежей это

Цитата:

не вопрос

.

[Евгений Машеров]

Центр масс это взвешенное (массами) среднее арифметические координат точечных масс. Среднее арифметическое - оценка матожидания случайной величины. Состоятельная оценка. Среднее арифметическое есть оценка матожидания методом МНК.
Что до предпочтения среднего для оценки дюрации - среднее аддитивно. То есть если Вы знаете дюрации нескольких вложений и стоимости денежного потока для них, то дюрацию для составленного из них капитала можете рассчитать, как среднее арифметическое дюраций отдельных вложений, взвешенное стоимостями их денежных потоков. Для моды или медианы это, вообще говоря, не так.

[prof.uskov]

Евгений Машеров в сообщении #1445409 писал(а):

Центр масс это взвешенное (массами) среднее арифметические координат точечных масс. Среднее арифметическое - оценка матожидания случайной величины. Состоятельная оценка. Среднее арифметическое есть оценка матожидания методом МНК.
Что до предпочтения среднего для оценки дюрации - среднее аддитивно. То есть если Вы знаете дюрации нескольких вложений и стоимости денежного потока для них, то дюрацию для составленного из них капитала можете рассчитать, как среднее арифметическое дюраций отдельных вложений, взвешенное стоимостями их денежных потоков. Для моды или медианы это, вообще говоря, не так.

спасибо