Тело, ограниченное поверхностями

[Norma]

Для вычисления площади поверхности необходимо нарисовать тело, ограниченное поверхностями: $x^2+z^2=4$ и $y^2+z^2=4$(в силу симметрии достаточно нарисовать его в первом октанте). Я так понимаю, что нужно найти область, "гранями" которой будут эти поверхности. Прав ли я, что проекция этого тела на плоскость $XOY$ -это квадрат, а на остальные плоскости - четверти окружностей?

[arseniiv]

Попредставлял, по идее всё так.

(При ограничении на октант.)

[Dmitriy40]

Norma в сообщении #1444208 писал(а):

Прав ли я, что проекция этого тела на плоскость $XOY$ -это квадрат

Да.

Norma в сообщении #1444208 писал(а):

а на остальные плоскости - четверти окружностей?

Нет, полные окружности. Четверть только в октанте.

Но сильно ли это поможет ...
Тело — пересечение двух цилиндров вдоль двух координатных осей.

[Norma]

Почему можно выразить $x$ через $z$ и подставить в формулу для вычисления площади поверхности(через двойной интеграл)? Разве это будет площадь всей поверхности?

[Dmitriy40]

Потому что можно (и даже одинарным интегралом если правильную фигуру взять, в сечении по $z$, можно даже интеграл по углу $0°..90°$ брать). Да, будет, после домножения на коэффициент размножения октантов.
Хотя конечно смотря что и как выразите и какие пределы поставите в интегралах.

[Pphantom]

По идее, если хорошо подумать, как выглядит пересечение, и прикинуть вид границы "обрезки" цилиндра, развернутого на плоскость, то можно и вообще без интегралов обойтись.

P.S. Да, действительно можно, и даже развертка не понадобится, без нее проще (и вид сечений как раз для этого весьма полезен). Должно получиться 64.

[nnosipov]

Pphantom в сообщении #1444252 писал(а):

Должно получиться 64.

Сначала подумал, что ошибка. Но потом посмотрел на первое сообщение --- там речь идет о площади поверхности, а не об объеме. Тогда все окей, здесь действительно интегралы не нужны.

А если добавить третий цилиндр? Об этой фигуре, кстати, задача М555 в "Кванте" была. Там и картинка, кажется, есть.

Upd. Хотя что-то я не понимаю, как без интеграла подсчитать площадь под синусоидой. (Поначалу мне почему-то померещились части сферы, что, конечно, бред.)

[svv]

https://en.wikipedia.org/wiki/Steinmetz_solid

[redicka]

Действительно, площадь равна 8 площадям под положительной частью косинусоиды т.е. 64 кв.ед.
Как обойтись без интеграла? Мне неясно.

[Norma]

Dmitriy40
Так будет же не вся поверхность(если я правильно представил фигуру)

[Dmitriy40]

Norma
Смотрите моё второе предложение, о правильности интегралов.

Ну и выше дали ссылку на вики, там по моему всё прекрасно видно и понятно.