Матанализ, метрика

[mmarin]

Никак не могу разобраться, обязана ли метрика быть непрерывной. Кажется, что вроде не должна. Никак не получается записать условие непрерывности для метрики в «эпсилон-терминах»

[Dan B-Yallay]

mmarin в сообщении #1443981 писал(а):

Никак не могу разобраться, обязана ли метрика быть непрерывной. Кажется, что вроде не должна.

Правильно кажется. Пример такой метрики практически всегда даётся на лекциях.

[Someone]

mmarin в сообщении #1443981 писал(а):

Никак не могу разобраться, обязана ли метрика быть непрерывной.

Непрерывной где?

[mmarin]

Someone в сообщении #1443983 писал(а):

mmarin в сообщении #1443981 писал(а):

Никак не могу разобраться, обязана ли метрика быть непрерывной.

Непрерывной где?

На декартовом произведении метрического пространства

[arseniiv]

На декартовом квадрате $M^2$ носителя метрического пространства? Тогда лучше спросить, непрерывной в каком смысле — на $M^2$ уже самом ведь нет заранее введённой другой метрики. Мы можем ввести её через метрическую структуру на самом $M$, но неудивительным образом выйдет, что метрика на $M$ непрерывна, потому что в конечном итоге она будет «непрерывна относительно себя». Если определять непрерывность по-топологически, опять придём к аналогичному: топологии никакой нам на $M$ и тем более $M^2$ в определении метрического пространства не требуется, но мы можем ввести её естественно через метрику, определяя открытое множество как содержащее вместе с любой своей точкой $x$ и некоторый открытый шар $B_x$. И опять будет скучнопорождённая непрерывность.

[Someone]

mmarin в сообщении #1443985 писал(а):

На декартовом произведении метрического пространства

на себя, естественно.
Пусть $(X,\rho)$ — наше метрическое пространство; метрика $\rho$ является функцией на множестве $X^2$, поэтому нужно определить метрику на $X^2$, индуцирующую топологию произведения $X\times X$, где топология на $X$ задаётся метрикой $\rho$. Наиболее прямолинейно можно получить топологию произведения, используя метрику $\rho_{\infty}((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\max\{\rho(x_1,x_2),\rho(y_1,y_2)\}$, поскольку шар в метрике $\rho_{\infty}$ является произведением шаров в метриках на сомножителях.
Ну и теперь надо записать условие непрерывности функции двух переменных $\rho(x,y)$ в терминах метрики $\rho_{\infty}$.

Тут может быть ещё одна задача: о непрерывности функции $f(x)=\rho(x,y_0)$ при произвольном фиксированном $y_0\in X$.