Линейное разностное уравнение, стабильные состояния

[bubu gaga]

С помощью матриц задано следующее разностное уравнение

$$ \begin{pmatrix} y_t \\ y_{t - 1} \end{pmatrix} = \mathbf{A} \, \begin{pmatrix} y_{t-1} \\ y_{t - 2} \end{pmatrix} + \mathbf{r} $$

Как находят в общем виде все стабильные состояния такой системы: $y_t = {\rm const} $ и если их несколько - области сходимости к ним. Спасибо!

[powerZ]

Я бы исключил для начала $y_{t-1}$, а дальше - решать обычное линейное разностное уравнение относительно $y_{t} , y_{t-2}$.

[ewert]

bubu gaga писал(а):

С помощью матриц задано следующее разностное уравнение

$$ \begin{pmatrix} y_t \\ y_{t - 1} \end{pmatrix} = \mathbf{A} \, \begin{pmatrix} y_{t-1} \\ y_{t - 2} \end{pmatrix} + \mathbf{r} $$

Как находят в общем виде все стабильные состояния такой системы: $y_t = \textit{const} $ и если их несколько - области сходимости к ним. Спасибо!

Вам, собственно, хочется, чтобы уравнение $\vec y=A\,\vec y+\vec f$ имело решение вида $\vec y=(c,c)^T$. Это возможно только если ну очень сильно повезёт. А если всё же повезёт, то область сходимости получится суммированием решения с корневым подпространством матрицы, отвечающим собственным числам, по модулю меньшим единицы.

(я исходил из того, что $\vec f={\rm const}$, а иначе вообще непонятно, о чём речь)

[bubu gaga]

Понятно

$$ \mathbf{y}_t = \mathbf{A}^t \, \mathbf{y}_0 + (\mathbf{A} - \mathbf{I} )^{-1} \, (\mathbf{A}^t - \mathbf{I}) \, \mathbf{r} $$

и если матрица оказывается с собственными значениями меньше единицы, то область сходимости $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ и решение равно

$$ \mathbf{y}_{\infty} = -(\mathbf{A} - \mathbf{I})^{-1} \, \mathbf{r} $$

Спасибо!

[ewert]

это-то да, только с какой стати это решение будет стационарным?

(и, кстати, вовсе не обязательно оба с.ч. меньше единицы -- некая область сходимости будет и в случае, когда такое с.ч. только одно)

[bubu gaga]

ewert писал(а):

это-то да, только с какой стати это решение будет стационарным?

Второе уравнение в матрице $\mathbf{A}$ нужно только для того чтобы связать две пары $(y_t, y_{t - 1})^T$ с $(y_{t - 1}, y_{t - 2})^T$, соответственно вторая строчка матрицы $\mathbf{A}$ это просто $(1 \; 0)$, а второй элемент вектора $\mathbf{r}$ равен нулю.

А вообще не достаточно ли просто показать, что когда $t \to \infty$ значение $\mathbf{y}_t$ перестаёт зависеть от $t$?

[Eugeen1948]

bubu gaga писал(а):

С помощью матриц задано следующее разностное уравнение

$$ \begin{pmatrix} y_t \\ y_{t - 1} \end{pmatrix} = \mathbf{A} \, \begin{pmatrix} y_{t-1} \\ y_{t - 2} \end{pmatrix} + \mathbf{r} $$

Как находят в общем виде все стабильные состояния такой системы: $y_t = {\rm const} $ и если их несколько - области сходимости к ним. Спасибо!

Если r - функция y (общий случай), то найти все стабильные состояния нельзя.
Однако, на практике можно проверить стабильность состояния в некой точке, используя теорему Ляпунова.
Находится матрица Якоби правых частей Вашего уравнения, а затем спектр её собственных значений. Если спектр не содержит положительных частей (спектр может быть комплексным), то состояние в этой точке ассимтотически устойчиво(стабильно).
Далее (если есть смысл!) находим собственные веторы и получаем окончательное выражение для решения в виде произведения собственных векторов на собственные значения. Устремляем время в бесконечность и получаем искомое стабильное состояние исследуемой системы.