Влечет ли непрерывность смешанных производных непрерывность?

[Human]

Один из вариантов теоремы (вроде бы Шварца) о равенстве смешанных частных производных имеет следующий вид:

Пусть функция $f(x,y)$ определена в некоторой окрестности точки $(x_0,y_0)$ вместе с частными производными $\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}$ и $\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}$, причем эти производные непрерывны в точке $(x_0,y_0)$. Тогда $\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(x_0,y_0)=\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}(x_0,y_0)$.

Вопрос: обязательно ли при этом функция $f$ дифференцируема (или хотя бы непрерывна) в точке $(x_0,y_0)$ ? Кажется, что да, но непонятно, как подступиться к доказательству.

В чем проблема:

1. Частные производные $\frac{\partial f}{\partial x}$ и $\frac{\partial f}{\partial y}$ хотя и определены в окрестности точки $(x_0,y_0)$, но при этом могут быть неограниченными в любой окрестности этой точки (и, следовательно, разрывными в самой этой точке).
Пример: пусть

$$h(x)=\begin{cases}x^2\sin\frac1{x^2},&\text{если $x\ne0$;}\\0,&\text{если $x=0$;}\end{cases}$$

Тогда функция $f(x,y)=h(x)+h(y)$ удовлетворяет условиям теоремы Шварца в окрестности точки $(0,0)$, но обе частные производные 1-го порядка неограничены в любой ее окрестности. При этом функция дифференцируема в точке $(0,0)$ (но не непрерывно дифференцируема в ней).

2. Предыдущий пример также показывает, что частные производные $\frac{\partial^2f}{\partial x^2}$ и $\frac{\partial^2f}{\partial y^2}$ могут быть неопределены.

Какие выводы при других предположениях можно получить:

1. Если потребовать, чтобы $\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}$ и $\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}$ были непрерывны не только в самой точке, но и в целой окрестности этой точки, то функция $f$ дифференцируема в этой окрестности. Действительно, в этом случае получаем простой диффур $f''_{xy}=f''_{yx}=g$, где $g$ - непрерывная функция, интегрирование которого дает $f(x,y)=\int\limits_{x_0}^x\int\limits_{y_0}^yg(t,s)\,dsdt+u(x)+v(y)$, где функции $u$ и $v$ дифференцируемы.

2. Если потребовать существование и непрерывность лишь одной из двух смешанных частных производных, то контрпример строится легко: достаточно взять $f(x,y)=D(x)$, где $D(x)$ - функция Дирихле.

3. Существует всюду определенная разрывная функция, имеющая всюду определенные частные производные всех порядков, которые не зависят от порядка дифференцирования. Ссылка на тред на math.stackexchange. Однако там частные производные 2-го порядка тоже разрывны. В этом же треде есть еще одно интересное сообщение о том, что квадратично интегрируемая функция с квадратично интегрируемым лапласианом обязательно непрерывна. Но мне кажется, что это мало связано с моим вопросом.

В общем, прошу помощи у участников форума.

[muspellsson]

Что значит

Human в сообщении #1443159 писал(а):

частные производные $\frac{\partial^2f}{\partial x^2}$ и $\frac{\partial^2f}{\partial y^2}$ могут быть неопределены

если в условии теоремы, которое Вы записали в первом сообщении требуется, чтобы они были определены?

[vpb]

Берем окрестность $U$ точки $(x_0,y_0)$, в которой обе смешанные производные непрерывны. Существует $\varepsilon>0$ такое, что $(x,y)\in U$ всегда при $|x-x_0|\leq\varepsilon$, $|y-y_0|\leq\varepsilon$. Заметьте, что в неравенстве стоит знак нестрогого неравенства. Т.е. множество $V=\{(x,y)\mid |x-x_0|\leq\varepsilon\,, |y-y_0|\leq\varepsilon\}$ компактно. На нем обе смешанные производные непрерывны, значит, ограничены. Значит .... тут сами подумайте, применив теорему о среднем, например.

[Human]

muspellsson в сообщении #1443167 писал(а):

Что значит

Human в сообщении #1443159 писал(а):

частные производные $\frac{\partial^2f}{\partial x^2}$ и $\frac{\partial^2f}{\partial y^2}$ могут быть неопределены

если в условии теоремы, которое Вы записали в первом сообщении требуется, чтобы они были определены?

Не требуется. Требуется лишь существование $\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}$ и $\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}$. Читайте, пожалуйста, внимательнее.

vpb в сообщении #1443176 писал(а):

Берем окрестность $U$ точки $(x_0,y_0)$, в которой обе смешанные производные непрерывны.

Мне интересен случай, когда смешанные производные непрерывны в самой точке, но не обязательно в ее окрестности. Случай непрерывности в окрестности рассмотрен мною выше:

Human в сообщении #1443159 писал(а):

1. Если потребовать, чтобы $\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}$ и $\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}$ были непрерывны не только в самой точке, но и в целой окрестности этой точки, то функция $f$ дифференцируема в этой окрестности. Действительно, в этом случае получаем простой диффур $f''_{xy}=f''_{yx}=g$, где $g$ - непрерывная функция, интегрирование которого дает $f(x,y)=\int\limits_{x_0}^x\int\limits_{y_0}^yg(t,s)\,dsdt+u(x)+v(y)$, где функции $u$ и $v$ дифференцируемы.

[vpb]

Human в сообщении #1443183 писал(а):

Мне интересен случай, когда смешанные производные непрерывны в самой точке, но не обязательно в ее окрестности. Случай непрерывности в окрестности рассмотрен мною выше:

Да, я как-то не заметил. И вообще перемудрил (спать пора...). Ну всё равно, если они в точке непрерывны, то они в некоторой окрестности этой точки ограничены, значит ...

-- 05.03.2020, 23:16 --

Нет, что-то я сам запутался... Пора спать.

[Human]

vpb
Все равно непонятно, как дальше действовать. Для применения теоремы о среднем мне нужно существование и ограниченность $\frac{\partial^2f}{\partial x^2}$ и $\frac{\partial^2f}{\partial y^2}$, чего, вообще говоря, нет. Из ограниченности смешанных частных производных не следует даже ограниченности $\frac{\partial f}{\partial x}$ и $\frac{\partial f}{\partial y}$. Вы не могли бы описать поподробнее дальнейший ход рассуждений? Ну или тогда уже завтра, если сон одерживает победу.

[arseniiv]

А моя любимая функция $f(x, y) = r\cos 3\varphi$, где $r = \sqrt{x^2 + y^2}$, $r\cos\varphi = x$, $r\sin\varphi = y$, в $(x, y) = (0, 0)$, не подходит под условия теоремы? (Вроде подходит, но я что-то не уверен.) А она даже не дифференцируема в нуле.

-- Пт мар 06, 2020 02:44:06 --

(Но непрерывна, разумеется. Хотя кажется, что можно сломать и непрерывность?..)

[Human]

arseniiv

Вроде не подходит. Если я все правильно посчитал, то $\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}=\frac2r(\sin5\varphi-\sin\varphi)$ вне точки $(0,0)$. Эта функция вполне определенно не имеет предела в точке $(0,0)$. И вроде как конкретно производная $\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)$ не существует в точке $(0,0)$, поскольку $\frac{\partial f}{\partial x}=2\cos2\varphi-\cos4\varphi$ вне точки $(0,0)$, то есть $\frac{\partial f}{\partial x}(0,y)=-3$ при $y\ne0$, но при этом $f(x,0)=x$, откуда $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=1$. То есть $\frac{\partial f}{\partial x}$ разрывна по переменной $y$ в точке $(0,0)$.

Пример очень хороший, но здесь он, к сожалению, не помогает.

[vpb]

В общем, так. Можно считать $x_0=y_0=f(0,0)=0$. Положим $f_1(x)=f(x,0)$, $f_2(y)=f(0,y)$. Тогда можно показать, что $f(x,y)-f_1(x)-f_2(y)=Axy+o(xy)$, где $A=\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(0,0)$. Доказательство --- то же, в сущности, что и доказательство теоремы Шварца в учебнике (в Фихтенгольце, скажем). А отсюда уже легко выводится дифференцируемость (в точке $(0,0)$). Собственно, даже существования предела смешанных производных в нуле не нужно, достаточно ограниченности (легко показать, что если $g(x,y)=O(|xy|)$, то производная Фреше функции $g$ в $(0,0)$ --- нуль).

[Padawan]

Вообще получается, что достаточно, чтобы хотя бы одна из смешанных производных существовала и была ограничена в некоторой окрестности $(0,0)$.

[Human]

vpb
Вроде все верно! Огромное Вам спасибо! У меня теперь хоть голова успокоится.

Padawan в сообщении #1443356 писал(а):

Вообще получается, что достаточно, чтобы хотя бы одна из смешанных производных существовала и была ограничена в некоторой окрестности $(0,0)$.

Если при этом существуют $\frac{\partial f}{\partial x}$ и $\frac{\partial f}{\partial y}$ в этой окрестности, то да.

[vpb]

Human в сообщении #1443397 писал(а):

Огромное Вам спасибо! У меня теперь хоть голова успокоится.

Пожалуйста. Обращайтесь, если что !

[Human]

В итоге получается следующее утверждение:

Пусть функция $f(x,y)$ определена в некоторой области $G$ вместе с частными производными $\frac{\partial f}{\partial x}$, $\frac{\partial f}{\partial y}$ и $\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}$, причем $\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}$ ограничена на $G$. Тогда $f$ дифференцируема на $G$.
Если при этом $\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}$ непрерывна в некоторой точке $(x_0,y_0)\in G$, то в этой точке существует и $\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}$, причем $\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}(x_0,y_0)=\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(x_0,y_0)$.

[vpb]

Да, верно.

[Human]

vpb
Еще раз спасибо за помощь!

(Оффтоп)

Голова почти успокоилась, надеюсь, что сегодня наконец-то высплюсь Этот вопрос мне покоя дня три не давал. Надо было сразу сюда обратиться...