Интеграл и Бета-функция при отрицательном аргументе

[Divergence]

Меня интересует следующий интеграл для положительных вещественных значений $a$ и отрицательных вещественных значений $b$.

$$ I(t,a,b) = \int^t_0 (t-\tau)^{a-1} \tau^{b-1} d\tau .$$

1) Заменой переменной $z=\tau/t$ получаем

$$ I(t,a,b) = t^{a+b-1} \int^1_0 (1-z)^{a-1} z^{b-1} dz.$$

В результате получаем

$$ I(t,a,b) = B(b,a) t^{a+b-1}, $$

где $B(b,a)$ - бета-функция
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0 ... 0%B8%D1%8F
В определении бета функции используется условие $Re(a)>0$, $Re(b)>0$.
Аналогичные условия написаны для интеграла в Справочнике Прудников и др Интегралы и ряды 1981 (Раздел 2.2.4 формулы 8 стр.296).
Отсюда можно сделать заключение, что для отрицательных вещественных значений параметров интеграл $I(t,a,b) $ не существует.

2) Однако, Бета-функцию можно выразить через Гамма-функцию

$$ B(b,a) =\frac{\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (a+b)}.$$

Известно, что Гамма функция для отрицательных вещественных значений существует и принимает конечные значения для нецелых значений аргумента.
Вопрос: В силу этого могу ли я использовать бета функции для всех вещественных $a$ и $b$, исключая целые отрицательные значения аргументов Гамма функций, то есть при

$$a,b,a+b \ne 0,-1,-2, ...$$

Это верно?

3) Пример:

$$ \Gamma(-1/2) = -2 \sqrt{\pi}$$

,
используя это значение и значения

$$\Gamma(5/2)=\frac{3}{4}\sqrt{\pi}, \quad \Gamma (2)=1$$

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function
получаем

$$ B(-1/2,5/2) =\frac{\Gamma (5/2)\Gamma (-1/2)}{\Gamma (5/2-1/2)}= - \frac{3}{2} \pi .$$

Это верно?

Если это верно, то получаю

$$I(t,5/2,-1/2) = - \frac{3}{2} \pi t .$$

В результате интеграл $I(t,a,b) $ существует при параметрах

$$a,b,a+b \ne 0,-1,-2, ...$$

Есть ли в моих рассуждениях ошибка? А у Прудникова?

[GAA]

Divergence в сообщении #1442911 писал(а):

1) Заменой переменной $z=\tau/t$ получаем

$$ I(t,a,b) = t^{a+b-1} \int^1_0 (1-z)^{a-1} z^{b-1} dz.$$

Если $b\le 0$, то данный интеграл расходится. См. признаки сходимости несобственного интеграла. Дальше можно не смотреть.

[Divergence]

Спасибо про интеграл.

Остался вопрос про тождество

$$ B(b,a) =\frac{\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (a+b)}.$$

Можно ли заключить из вашего утверждения (из признаки сходимости несобственного интеграла), что левая часть не существует (расходится) при $b<0$, а правая существует и конечна.
Например,

$$ B(-1/2,5/2) = \text{расходится}, \quad \frac{\Gamma (5/2)\Gamma (-1/2)}{\Gamma (5/2-1/2)}= - \frac{3}{2} \pi .$$

Это верно?

[arseniiv]

Очевидно это вопрос об определении бета-функции. Просто посмотрите, определена она для отрицательных аргументов или нет (если в разных местах будет по-разному, будет что обсудить, а так — нет). Кроме того, насколько я понимаю, обычно требуются только значения для неотрицательных аргументов, а если требуются другие, то вероятно, что вы где-то что-то сделали не так.

[GAA]

Divergence в сообщении #1442915 писал(а):

Это верно?

Связь $B$ и $\Gamma$ выводится в курсе дифференциального и интегрального исчисления / основ математического анализа в предположении $a>0$, $b >0$. Это есть в любом учебнике. См. хоть второй том (трехтомника) Фихтенгольца, хоть Зорича. $B(-1/2,5/2) = +\infty$. Второе, да, $\quad \frac{\Gamma (5/2)\Gamma (-1/2)}{\Gamma (5/2-1/2)}= - \frac{3}{2} \pi .$

[Divergence]

Спасибо!

[GAA]

arseniiv в сообщении #1442916 писал(а):

Очевидно это вопрос об определении бета-функции.

Если $a$ либо $b$ отрицательны, то иногда $B$-функцию определяют так: $B(a,b) = \lim_{t \to 0}\frac {\Gamma(a+t)\Gamma(b)}{\Gamma(a+t+b)}$. И тогда $B(-1/2,5/2) = -\frac 3 2 \pi$.
Но какое это отношение имеет к вопросу начального сообщения? В начальном сообщении интеграл выразили через $B(a,b)$. Если принять определение $B$ с одним отрицательным параметром, то тогда интеграл не будет равен $B$-функции. В теме ключевое — расходимость интеграла.