Мера множества

[artempalkin]

mihaild

Ну, очевидно, получается, что мера чисел, у которых нет пар нулей на местах типа 2n+1, 2n+2 равна нулю \lim\limits_{n\to\infty}(\frac34)^n=0 :) Но если мы хотим исследовать меру множества чисел, у которых вообще нет пар нулей, тогда нужно все-таки исследовать включения и исключения, либо как-то иначе найти комбинаторную формулу для количества упорядоченных наборов длины n из 0 и 1, в которых нет пар нулей. Я подозреваю, что в пределе все равно будет нуль (но это неочевидно).

Ааа, я понял, их же будет МЕНЬШЕ. Тогда тоже будет стремиться к нулю по-любому.

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1442131 писал(а):

Но если мы хотим исследовать меру множества чисел, у которых вообще нет пар нулей, тогда нужно все-таки исследовать включения и исключения

Не нужно.
Как соотносятся множества, у которых нет пар нулей на местах вида $2n + 1$, $2n + 2$ и у которых вообще нет пар нулей?

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1442134 писал(а):

artempalkin в сообщении #1442131 писал(а):

Но если мы хотим исследовать меру множества чисел, у которых вообще нет пар нулей, тогда нужно все-таки исследовать включения и исключения

Не нужно.
Как соотносятся множества, у которых нет пар нулей на местах вида $2n + 1$, $2n + 2$ и у которых вообще нет пар нулей?

Да, осознал, мое множество является подмножеством вашего. В итоге мера моего множества тоже будет равна нулю.

-- 28.02.2020, 22:50 --

Так, ну хорошо, пойдем дальше... тогда мера множества чисел, у которых будет ровно одна пара нулей (скажем, первая, а значит, любая), будет по сути 3/4*0=0. То же будет с любым конечным набором пар нулей. Получается, суммарная мера всех этих множеств (а они не пересекаются) есть нуль. А их дополнением будет исследуемое множество. А значит его мера будет равна 1.

[mihaild]

Правильно. Что теперь можно сказать про множество, в котором нет ни одной пары нулей подряд после $n$-й позиции?

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1442138 писал(а):

Правильно. Что теперь можно сказать про множество, в котором нет ни одной пары нулей подряд после $n$-й позиции?

Ну да, либо так. Мера такого множества равна нулю. Таких множеств счетное количество (правда, они пересекаются, но мера равная нулю поможет нам, как и в тот раз), а значит можно применить счетную аддитивность меры Лебега. А наше исследуемое множество есть дополнение объединения этих множеств. Гениально.

[artempalkin]

mihaild

Спасибо большое за помощь и терпение :) Очень хорошо и мудро подвели к ответу, все понятно. Надеюсь, что не слишком "тупил" и был хорошим "последователем" :)