Прошу проверить (композиция биекций)

[vadimm]

Нужно доказать, что композиция биективных отображений является биекцией.

1. $f \colon A \to B$ и $g \colon B \to C$ - инъекции. Пусть $\forall a_1, a_2 \in A \colon (gf)(a_1) = (gf)(a_2)$. Тогда $g(f(a_1)) = g(f(a_2)) \Rightarrow f(a_1) = f(a_2)$, так как $g$ инъекция. Из инъективности $f$ получаем $f(a_1) = f(a_2) \Rightarrow a_1 = a_2$.

2. $f \colon A \to B$ и $g \colon B \to C$ - сюръекции. Тогда $\forall c \in C ~\exists b \in B \colon g(b) = c$ и $\forall b \in B ~\exists a \in A \colon f(a) = b$. Поэтому $c = g(b) = g(f(a)) = (gf)(a)$. Так как $g(b) = g(f(a))$ сюръекция, то $(gf)(a)$ так же сюръекция.

[mihaild]

Примерно так, только

vadimm в сообщении #1441721 писал(а):

$\forall a_1, a_2 \in A \colon (gf)(a_1) = (gf)(a_2)$

значит что $gf$ - константа. Надо так: пусть $a_1, a_2 \in A$ такие что ..., тогда ....

Аналогично во второй части - перед "поэтому $c = g(b)$" надо сказать, для каких $c$ идет рассуждение ("пусть $c \in C$, тогда $c = g(b)$ для какого-то $b \in B$).

[vadimm]

Спасибо!

mihaild в сообщении #1441725 писал(а):

надо сказать, для каких $c$ идет рассуждение ("пусть $c \in C$, тогда $c = g(b)$ для какого-то $b \in B$).

Я подумал, что я во втором предложении это указал.

vadimm в сообщении #1441721 писал(а):

Тогда $\forall c \in C ... $ и $\forall b \in B ...

Или это другое?

[Alexzord]

vadimm в сообщении #1441721 писал(а):

Поэтому $c = g(b) = g(f(a)) = (gf)(a)$. Так как $g(b) = g(f(a))$ сюръекция, то $(gf)(a)$ так же сюръекция.

Последнее предложение какое-то непонятное, оно не нужно мне кажется. Показали, что $\forall c\in C \exists a \in A: c = gf(a)$ -- всё, значит $gf$ -- сюръекция по определению.

[mihaild]

vadimm в сообщении #1441731 писал(а):

Или это другое?

Тут же квантор по $c$ - так что за пределами этой формулы $c$ не определено (если не использовать этот подход, то получится, что по $b$ у вас квантор всеобщности в области действия квантора существования).