Группа Ли композиции рядов

[Padawan]

Рассмотрим множество функций вида $y=ax+bx^2+cx^3+dx^4+O(x^5)$ как группу Ли относительно операции композиции. Оказывается, эти функции перемножаются так же, как матрицы вида

$$ X=\begin{pmatrix} a & 0 & 0 & 0 \\ b & a^2 & 0 & 0 \\ c & 2ba & a^3& 0\\ d & 2ac+b^2&3ba^2&a^4 \end{pmatrix} $$

Алгебра Ли этой матричной группы Ли состоит из матриц вида

$$ A=\begin{pmatrix} \alpha & 0 & 0 & 0 \\ \beta & 2\alpha & 0 & 0 \\ \gamma & 2\beta & 3\alpha& 0\\ \delta & 2\gamma &3\beta& 4\alpha \end{pmatrix} $$

Закономерность записи матрицы $A$ сразу видно, и понятно, что она будет такая при любом размере $n$. На самом деле я сначала нашел алгебру Ли, и увидел, что она задается именно такими матрицами. А вот понять как устроена матрица самой группы было не так просто (смотрел на $\exp(A)$). И я не надеюсь, что для произвольного размера $n$ получится увидеть какую-то закономерность.
Вопрос такой - кто-нибудь встречал такую алгебру Ли?

[ИСН]

Закономерность для произвольного размера простая (если Вы вообще согласитесь считать это за закономерность): в первом столбце - коэффициенты абстрактного степенного ряда, во втором - его квадрата, дальше - куба и т.д.

[svv]

Обозначим $a=a_1, b=a_2$ и так далее. Тогда элемент матрицы $X$ на пересечении $i$-й строки и $k$-го столбца равен

$$\sum\limits_{j_1+\ldots+j_k=i} a_{j_1}\cdot\ldots\cdot a_{j_k}$$

[Padawan]

ИСН
Точно. Как я сам не догадался. Спасибо!

[Padawan]

Предложение. Для любого формального степенного ряда $F(z)=z+a_2 z^2+a_3 z^3+\ldots$ cуществует единственное однопараметрическое семейство степенных рядов $f_t(z)=z+c_2(t)z^2+c_3(t)z^3+\ldots$ такое, что $f_{t+s}(z)=f_t(f_s(z))$ для всех значений параметров $s,t$, $f_0(z)=z$, $f_1(z)=F(z)$. Первые коэффициенты таковы

$$ f_t(z)=z+ta_2z^2+\left[ta_3+(t^2-t)a_2^2\right]z^3+\left[ta_4+(\tfrac 52 t^2-\tfrac 52 t)a_2a_3+(t^3-\tfrac52 t^2+\tfrac 32 t)a_2^3\right]z^4+\ldots $$

Поток $\{f_t(z)\}$ порожден (формально) векторным полем $v(z)=a_2 z^2+(a_3-a_2^2)z^3+(a_4-\tfrac 52 a_2a_3+\tfrac 32 a_2^3) z^4+\ldots$
Теперь надо исследовать сходимость этих рядов. Метод мажорантных функций на прямую не получается применить, т.к. полученные коэффициенты у ряда $v(z)$ не являются многочленами с положительными коэффициентами от $a_i$. Интересно, существует ли такая аналитическая функция $F(z)=z+a_2 z^2+a_3 z^3+\ldots$, для которой ряд $v(z)$ расходится при любых $z$. Это бы значило, что $F(z)$ нельзя включить (локально) в однопараметрическую группу, состоящую из аналитических функций.

[Padawan]

Padawan в сообщении #1443309 писал(а):

Интересно, существует ли такая аналитическая функция $F(z)=z+a_2 z^2+a_3 z^3+\ldots$, для которой ряд $v(z)$ расходится при любых $z$.

Оказывается, существует. I. N. Baker в статье Zusammensetzungen ganzer Funktionen (1958) (http://eretrandre.org/rb/files/Baker1958_151.pdf) показал, что для $F(z)=e^z-1$ итерированный ряд $f_t(z)$ имеет ненулевой радиус сходимости только для целых $t$.

Сходимость итерированной функции изучают P. Erd$\mathrm{\ddot o}$s, E. Jabotinsky, On analytic iteration. J. Analyse Math. 8 (1960) 361–376 (http://bsmath.hu/~p_erdos/1960-07.pdf)

А представлять композицию рядов матрицами, начал, видимо, E. Jabotibskiy, Sur la reprsentation de la composition de fonctions par un produit de matrices. Application a l’iteration de $e^z$ et de $e^z-1$,C. R. Acad. Sci. Paris224 (1947), 323–324. (https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3176m/f323.image). По крайней мере более ранних статей я не нашел. Потом много работ было на эту тему.

[EvgenB]

Я как раз недавно начал изучать эту тему и, пользуясь случаем, хочу задать вопрос. Пусть

$$F\left( z \right)=z+{{a}_{2}}{{z}^{2}}+{{a}_{3}}{{z}^{3}}+...,\quad {{f}_{0}}\left( z \right)=z, \quad{{f}_{1}}\left( z \right)=F\left( z \right), \quad{{f}_{t+s}}\left( z \right)={{f}_{t}}\left( {{f}_{s}}\left( z \right) \right)$$

для всех действительных значений $t$, $s$. В связи с этим меня интересовал вопрос: существует ли общая формула для полиномов ${{c}_{n}}\left( t \right)$, таких что ${{f}_{t}}\left( z \right)=\sum\nolimits_{n=1}^{\infty }{{{c}_{n}}}\left( t \right){{z}^{n}}$. Я исходил из следующей аналогии. Пусть $a\left( z \right)=1+{{a}_{1}}z+{{a}_{2}}{{z}^{2}}+....$ Тогда

$${{a}^{t}}\left( z \right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{{{t}^{n}}}{n!}}{{\left( \log a\left( z \right) \right)}^{n}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{s}_{n}}}\left( t \right){{z}^{n}}, \qquad\log a\left( z \right)=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{\alpha }_{n}}}{{z}^{n}},$$

$${{s}_{0}}\left( t \right)=1, \qquad{{s}_{n}}\left( t \right)=\sum\limits_{m=1}^{n}{{{t}^{m}}\sum\limits_{n,m}{\frac{\alpha _{1}^{{{m}_{1}}}\alpha _{2}^{{{m}_{2}}}...\text{ }\alpha _{n}^{{{m}_{n}}}}{{{m}_{1}}!{{m}_{2}}!\text{ }...\text{ }{{m}_{n}}!}}}\text{ },$$

где суммирование коэффициента при ${{t}^{m}}$ ведется по всем разбиениям $n=\sum\nolimits_{i=1}^{n}{i{{m}_{i}}}$, $m=\sum\nolimits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}$. Мне не удалось самостоятельно получить аналогичную формулу для полиномов ${{c}_{n}}\left( t \right)$, но я обнаружил ее в статье G. Labelle, Sur l'Inversion et l'Iteration Continue des Séries Formelles: https://www.sciencedirect.com/science/a ... 9880800473 . Применительно к матрицам, пусть ${{X}^{t}}$ – нижнетреугольная бесконечная матрица, $n$-й столбец которой, $n=0$, $1$, $2$, …, имеет производящую функцию ${{\left( {{f}_{t}}\left( z \right) \right)}^{n}}$; т.е. $t$ – это степень матрицы $X$. Тогда

$$\log X=\left( \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & {{\alpha }_{1}} & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & {{\alpha }_{2}} & 2{{\alpha }_{1}} & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & {{\alpha }_{3}} & 2{{\alpha }_{2}} & 3{{\alpha }_{1}} & 0 & \cdots \\ 0 & {{\alpha }_{4}} & 2{{\alpha }_{3}} & 3{{\alpha }_{2}} & 4{{\alpha }_{1}} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ {{\alpha }_{1}} & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ {{\alpha }_{2}} & {{\alpha }_{1}} & 0 & 0 & \cdots \\ {{\alpha }_{3}} & {{\alpha }_{2}} & {{\alpha }_{1}} & 0 & \cdots \\ {{\alpha }_{4}} & {{\alpha }_{3}} & {{\alpha }_{2}} & {{\alpha }_{1}} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\ \end{matrix} \right)D,$$

где $D$ – матрица оператора дифференцирования,

$${{X}^{t}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{{{t}^{n}}}{n!}}{{\left( \log X \right)}^{n}}, \qquad{{f}_{t}}\left( z \right)=z+t\omega \left( z \right)+\frac{{{t}^{2}}}{2}\omega \left( z \right){\omega }'\left( z \right)+...\frac{{{t}^{n}}}{n!}{{\omega }_{n}}\left( z \right)+...,$$

где ${{\omega }_{0}}\left( z \right)=z$, ${{\omega }_{1}}\left( z \right)=\omega \left( z \right)=\sum\nolimits_{n=1}^{\infty }{{{\alpha }_{n}}}{{z}^{n+1}}$, ${{\omega }_{n+1}}\left( z \right)=\omega \left( z \right){{{\omega }'}_{n}}\left( z \right)$. Формула, о которой идет речь, выражает не только коэффициенты ряда ${{f}_{t}}\left( z \right)$, но и коэффициенты степени ряда ${{{f}_{t}}\left( z \right)}/{z}\;$: ${{\left( {{{f}_{t}}\left( z \right)}/{z}\; \right)}^{x}}=\sum\nolimits_{n=0}^{\infty }{{{c}_{n}}}\left( t,x \right){{z}^{n}}$,

$${{c}_{0}}\left( t,x \right)=1, \qquad{{c}_{n}}\left( t,x \right)=\sum\limits_{m=1}^{n}{\frac{{{t}^{m}}}{m!}}\sum\limits_{n,m}{{{\alpha }_{{{i}_{1}}}}}...{{\alpha }_{{{i}_{m}}}}x\left( x+{{i}_{1}} \right)\left( x+{{i}_{1}}+{{i}_{2}} \right)+...+\left( x+{{i}_{1}}+{{i}_{2}}+...+{{i}_{m-1}} \right),$$

где суммирование коэффициента при ${{{t}^{m}}}/{m!}\;$ ведется по всем композициям $n={{i}_{1}}+{{i}_{2}}+...+{{i}_{m}}$. Автор не дает детального вывода этой формулы, вероятно, считая ее очевидной. Скорей всего, она основана на каких-то простых комбинаторных принципах, но мне они неизвестны. Возможно также, что она вытекает из предыдущих выкладок автора, в которых я до конца не розобрался. Может кто-нибудь прояснить подоплеку этой формулы?

[Padawan]

EvgenB в сообщении #1453935 писал(а):

Формула, о которой идет речь, выражает не только коэффициенты ряда ${{f}_{t}}\left( z \right)$, но и коэффициенты степени ряда ${{{f}_{t}}\left( z \right)}/{z}\;$: ${{\left( {{{f}_{t}}\left( z \right)}/{z}\; \right)}^{x}}=\sum\nolimits_{n=0}^{\infty }{{{c}_{n}}}\left( t,x \right){{z}^{n}}$,

В этой статье Жаботинского точно
такое же разложения рассматривается https://www.ams.org/journals/tran/1963-108-03/S0002-9947-1963-0155971-X/home.html
Посмотрите, возможно это та же самая формула и есть.

[EvgenB]

Да, действительно, это то же самое разложение и дается его подробный вывод. Надо будет внимательно изучить и сравнить со статьей Лабелле, в которой нет ссылки на Жаботинского. Возможно, Лабелле пришел к этой формуле своим путем, который я пока не понимаю.

[EvgenB]

Разбираясь с разложением ${{\left( {{{f}_{t}}\left( z \right)}/{z}\; \right)}^{x}}=\sum\nolimits_{n=0}^{\infty }{{{c}_{n}}}\left( t,x \right){{z}^{n}}$, обнаружил интересные вещи, которые, похоже, являются истоками этого разложения. Пусть

$$F\left( z \right)=z+{{a}_{2}}{{z}^{2}}+{{a}_{3}}{{z}^{3}}+... , \quad{{f}_{0}}\left( z \right)=z, \qquad{{f}_{1}}\left( z \right)=F\left( z \right), \qquad{{f}_{t}}\left( {{f}_{s}}\left( z \right) \right)={{f}_{t+s}}\left( z \right),$$

$${{f}_{t}}\left( z \right)=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{c}_{n}}}\left( t \right){{z}^{n}}, \qquad{{\left( {{{f}_{1}}\left( z \right)}/{z}\; \right)}^{x}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{s}_{n}}}\left( x \right){{z}^{n}}, \qquad{{\left( {{{f}_{t}}\left( z \right)}/{z}\; \right)}^{x}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{s}_{n}}}\left( t{{\omega }_{i}},x \right){{z}^{n}},$$

$${{f}_{t}}\left( z \right)={{e}^{t\omega \left( z \right)D}}, \qquad\omega \left( z \right)=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{\omega }_{n}}}{{z}^{n+1}}, \qquad\omega \left( {{f}_{1}}\left( z \right) \right)=\omega \left( z \right){{{f}'}_{1}}\left( z \right).$$

Ряд ${{f}_{t}}\left( z \right)$ будем представлять матрицей ${{X}^{t}}$, $m$-й столбец которой, $m=0$, $1$, $2$, …, имеет производящую функцию ${{\left( {{f}_{t}}\left( z \right) \right)}^{m}}$; оператор $\omega \left( z \right)D$ будем представлять матрицей $\log X$, $m$-й столбец которой имеет производящую функцию $m{{z}^{m-1}}\omega \left( z \right)$. Исходным пунктом дальнейших построений является формула

$${{e}^{\alpha {{z}^{k+1}}D}}=\frac{z}{{{\left( 1-k\alpha {{z}^{k}} \right)}^{{1}/{k}\;}}}, \quad k>0; \quad\frac{1}{{{\left( 1-k\alpha {{z}^{k}} \right)}^{{m}/{k}\;}}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{m\left( m+k \right)\left( m+2k \right)...\left( m+\left( n-1 \right)k \right)}{n!}{{\alpha }^{n}}{{z}^{nk}}}.$$

Матрицу, $m$-й столбец которой имеет производящую функцию ${{z}^{m}}{{\left( 1-k\alpha {{z}^{k}} \right)}^{{-m}/{k}\;}}$, обозначим $X_{k}^{\alpha }$. Матрица $X$ раскладывается в бесконечное произведение матриц $X_{k}^{\alpha }$ с подходящими показателями степени, причем двумя способами – в правостороннее и левостороннее относительно матрицы $X_{1}^{{{\alpha }_{1}}}$ произведения:

$$X=X_{1}^{{{\alpha }_{1}}}X_{2}^{{{\alpha }_{2}}}...X_{k}^{{{\alpha }_{k}}}...=...X_{k}^{{{\beta }_{k}}}...X_{2}^{{{\beta }_{2}}}X_{1}^{{{\beta }_{1}}}, \qquad{{X}^{-1}}=X_{1}^{-{{\beta }_{1}}}X_{2}^{-{{\beta }_{2}}}...X_{k}^{-{{\beta }_{k}}}...=...X_{k}^{-{{\alpha }_{k}}}...X_{2}^{-{{\alpha }_{2}}}X_{1}^{-{{\alpha }_{1}}}.$$

$\left( n,m \right)$-й элемент матрицы $X$, выраженный через элементы матриц $X_{1}^{{{\alpha }_{1}}},...,X_{n-1}^{{{\alpha }_{n-1}}}$ или $X_{1}^{{{\beta }_{1}}},...,X_{n-1}^{{{\beta }_{n-1}}}$, может быть представлен в виде полинома от $m$ степени $n-m$. Заменяя $m$ на $x$, получаем две формулы для полиномов ${{s}_{n}}\left( x \right)$, выраженные через коэффициенты разложений ${{\alpha }_{i}}$, ${{\beta }_{i}}$:

$${{s}_{1}}\left( {{\alpha }_{i}},x \right)=x{{\alpha }_{1}}, \qquad{{s}_{2}}\left( {{\alpha }_{i}},x \right)=x{{\alpha }_{2}}+\left( \begin{matrix} x+1 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)\alpha _{1}^{2}, \qquad{{s}_{3}}\left( {{\alpha }_{i}},x \right)=x{{\alpha }_{3}}+x\left( x+2 \right){{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{2}}+\left( \begin{matrix} x+2 \\ 3 \\ \end{matrix} \right)\alpha _{1}^{3},$$

$${{s}_{4}}\left( {{\alpha }_{i}},x \right)=x{{\alpha }_{4}}+x\left( x+3 \right){{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{3}}+x\left( x+2 \right)\frac{\alpha _{2}^{2}}{2}+ x\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)\frac{\alpha _{1}^{2}{{\alpha }_{2}}}{2}+\left( \begin{matrix} x+3 \\ 4 \\ \end{matrix} \right)\alpha _{1}^{4};$$

$${{s}_{1}}\left( {{\beta }_{i}},x \right)=x{{\beta }_{1}}, \qquad{{s}_{2}}\left( {{\beta }_{i}},x \right)=x{{\beta }_{2}}+\left( \begin{matrix} x+1 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)\beta _{1}^{2},\qquad {{s}_{3}}\left( {{\beta }_{i}},x \right)=x{{\beta }_{3}}+x\left( x+1 \right){{\beta }_{1}}{{\beta }_{2}}+\left( \begin{matrix} x+2 \\ 3 \\ \end{matrix} \right)\beta _{1}^{3},$$

$${{s}_{4}}\left( {{\beta }_{i}},x \right)=x{{\beta }_{4}}+x\left( x+1 \right){{\beta }_{1}}{{\beta }_{3}}+x\left( x+2 \right)\frac{\beta _{2}^{2}}{2}+ x\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)\frac{\beta _{1}^{2}{{\beta }_{2}}}{2}+\left( \begin{matrix} x+3 \\ 4 \\ \end{matrix} \right)\beta _{1}^{4};$$

$${{s}_{n}}\left( {{\alpha }_{i}},x \right)=\sum\limits_{n}{x\left( x+{{i}_{1}} \right)\left( x+{{i}_{1}}+{{i}_{2}} \right)...\left( x+{{i}_{1}}+{{i}_{2}}+...+{{i}_{m-1}} \right)\frac{\alpha _{1}^{{{m}_{1}}}\alpha _{2}^{{{m}_{2}}}...\text{ }\alpha _{n}^{{{m}_{n}}}}{{{m}_{1}}!{{m}_{2}}!...{{m}_{n}}!}}\text{ },$$

где суммирование ведется по всем разбиениям $n=\sum\nolimits_{i=1}^{n}{i{{m}_{i}}}={{i}_{1}}+{{i}_{2}}+...+{{i}_{m}}$, $m=\sum\nolimits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}$, ${{i}_{k}}\ge {{i}_{k+1}}$. Формула для полиномов ${{s}_{n}}\left( {{\beta }_{i}},x \right)$ имеет аналогичный вид, но с условием ${{i}_{k}}\le {{i}_{k+1}}$. Переход к обратным рядам по теореме обращения Лагранжа подтверждает справедливость этих формул:

$$\frac{x}{x+n}{{s}_{n}}\left( {{\alpha }_{i}},-x-n \right)={{s}_{n}}\left( {{\beta }_{i}},x \right), \quad{{\beta }_{i}}=-{{\alpha }_{i}}; \qquad\frac{x}{x+n}{{s}_{n}}\left( {{\beta }_{i}},-x-n \right)={{s}_{n}}\left( {{\alpha }_{i}},x \right), \quad{{\alpha }_{i}}=-{{\beta }_{i}}.$$

Ряды $\alpha \left( z \right)=\sum\nolimits_{n=1}^{\infty }{{{\alpha }_{n}}{{z}^{n+1}}}$, $\beta \left( z \right)=\sum\nolimits_{n=1}^{\infty }{{{\beta }_{n}}{{z}^{n+1}}}$должны быть связаны с рядом $\omega \left( z \right)$ определенным конструктивным образом. Интересно также выяснить, что представляют собой однопараметрические семейства рядов ${{f}_{\alpha ,t}}\left( z \right)$, ${{f}_{\beta ,t}}\left( z \right)$,

$${{\left( {{{f}_{\beta ,t}}\left( z \right)}/{z}\; \right)}^{x}}=\sum\nolimits_{n=0}^{\infty }{{{s}_{n}}}\left( t{{\alpha }_{i}},x \right){{z}^{n}}, \qquad{{\left( {{{f}_{\beta ,t}}\left( z \right)}/{z}\; \right)}^{x}}=\sum\nolimits_{n=0}^{\infty }{{{s}_{n}}}\left( t{{\beta }_{i}},x \right){{z}^{n}}.$$

Существует ли литература по разложениям ${{\alpha }_{i}}$, ${{\beta }_{i}}$?

[EvgenB]

EvgenB в сообщении #1457513 писал(а):

Интересно также выяснить, что представляют собой однопараметрические семейства рядов ${{f}_{\alpha ,t}}\left( z \right)$, ${{f}_{\beta ,t}}\left( z \right)$,

Вопрос оказался сложнее, чем я надеялся. Но одну конструктивную формулу удалось найти: ${{f}_{\alpha ,1-t}}\left( {{f}_{\beta ,t}}\left( z \right) \right)=F\left( z \right)$. Т.е.

$$X=...X_{k}^{t{{\beta }_{k}}}...X_{2}^{t{{\beta }_{2}}}X_{1}^{{{\beta }_{1}}={{\alpha }_{1}}}X_{2}^{\left( 1-t \right){{\alpha }_{2}}}...X_{k}^{\left( 1-t \right){{\alpha }_{k}}}....$$

Выполняется также формула ${{f}_{\beta ,-1}}\left( {{f}_{\alpha ,-1}}\left( z \right) \right)={{f}_{-2}}\left( z \right)$, т.е. $\left( X_{1}^{-{{\alpha }_{1}}}X_{2}^{-{{\alpha }_{2}}}...X_{k}^{-{{\alpha }_{k}}}... \right)\left( ...X_{k}^{-{{\beta }_{k}}}...X_{2}^{-{{\beta }_{2}}}X_{1}^{-{{\beta }_{1}}} \right)={{X}^{-2}}$, которая, вероятно, является деталью более общей конструкции. Для желающих поэксперементировать, приведу начальные члены ${{\alpha }_{i}}$, ${{\beta }_{i}}$- разложений (${{f}_{\alpha ,t}}\left[ n \right]$ означает $n$-й коэффициент ряда ${{{f}_{\alpha ,t}}\left( z \right)}/{z}\;$):

$${{f}_{\alpha ,t}}\left[ 1 \right]={{\alpha }_{1}}t, \qquad{{f}_{\alpha ,t}}\left[ 2 \right]={{\alpha }_{2}}t+\alpha _{1}^{2}{{t}^{2}}, \qquad{{f}_{\alpha ,t}}\left[ 3 \right]={{\alpha }_{3}}t+3{{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{2}}{{t}^{2}}+\alpha _{1}^{3}{{t}^{3}},$$ $${{f}_{\alpha ,t}}\left[ 4 \right]={{\alpha }_{4}}t+\left( 4{{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{3}}+\frac{3}{2}\alpha _{2}^{2} \right){{t}^{2}}+6\alpha _{1}^{2}{{\alpha }_{2}}{{t}^{3}}+\alpha _{1}^{4}{{t}^{4}},$$

$${{f}_{\alpha ,t}}\left[ 5 \right]={{\alpha }_{5}}t+\left( 5{{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{4}}+4{{\alpha }_{2}}{{\alpha }_{3}} \right){{t}^{2}}+\left( 10\alpha _{1}^{2}{{\alpha }_{3}}+\frac{15}{2}{{\alpha }_{1}}\alpha _{2}^{2} \right){{t}^{3}}+10\alpha _{1}^{3}{{\alpha }_{2}}{{t}^{4}}+\alpha _{1}^{5}{{t}^{5}},$$

$${{f}_{\alpha ,t}}\left[ 6 \right]={{\alpha }_{6}}t+\left( 6{{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{5}}+5{{\alpha }_{2}}{{\alpha }_{4}}+2\alpha _{3}^{2} \right){{t}^{2}}+\left( 15\alpha _{1}^{2}{{\alpha }_{4}}+24{{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{2}}{{\alpha }_{3}}+\frac{5}{2}\alpha _{2}^{3} \right){{t}^{3}}+$$ $$+\left( 20\alpha _{1}^{3}{{\alpha }_{3}}+45\alpha _{1}^{2}\alpha _{2}^{2} \right){{t}^{4}}+15\alpha _{1}^{4}{{\alpha }_{2}}{{t}^{5}}+\alpha _{1}^{6}{{t}^{6}};$$

$${{f}_{\beta ,t}}\left[ 1 \right]={{\beta }_{1}}t, \qquad{{f}_{\beta ,t}}\left[ 2 \right]={{\beta }_{2}}t+\beta _{1}^{2}{{t}^{2}}, \qquad{{f}_{\alpha ,t}}\left[ 3 \right]={{\beta }_{3}}t+2{{\beta }_{1}}{{\alpha }_{2}}{{t}^{2}}+\beta _{1}^{3}{{t}^{3}},$$

$${{f}_{\beta ,t}}\left[ 4 \right]={{\beta }_{4}}t+\left( 2{{\beta }_{1}}{{\beta }_{3}}+\frac{3}{2}\beta _{2}^{2} \right){{t}^{2}}+3\beta _{1}^{2}{{\beta }_{2}}{{t}^{3}}+\beta _{1}^{4}{{t}^{4}},$$

$${{f}_{\beta ,t}}\left[ 5 \right]={{\beta }_{5}}t+\left( 2{{\beta }_{1}}{{\beta }_{4}}+3{{\beta }_{2}}{{\beta }_{3}} \right){{t}^{2}}+\left( 3\beta _{1}^{2}{{\beta }_{3}}+3{{\beta }_{1}}\beta _{2}^{2} \right){{t}^{3}} +4\beta _{1}^{3}{{\beta }_{2}}{{t}^{4}}+\beta _{1}^{5}{{t}^{5}},$$

$${{f}_{\beta ,t}}\left[ 6 \right]={{\beta }_{6}}t+\left( 2{{\beta }_{1}}{{\beta }_{5}}+3{{\beta }_{2}}{{\beta }_{4}}+2\beta _{3}^{2} \right){{t}^{2}}+\left( 3\beta _{1}^{2}{{\beta }_{4}}+8{{\beta }_{1}}{{\beta }_{2}}{{\beta }_{3}}+\frac{5}{2}\beta _{2}^{3} \right){{t}^{3}}+$$

$$+\left( 4\beta _{1}^{3}{{\beta }_{3}}+\frac{15}{2}\beta _{1}^{2}\beta _{2}^{2} \right){{t}^{4}}+5\beta _{1}^{4}{{\beta }_{2}}{{t}^{5}}+\beta _{1}^{6}{{t}^{6}}.$$

Здесь ${{f}_{\alpha ,1}}\left( z \right)={{f}_{\beta ,1}}\left( z \right)=F\left( z \right)$. Ряд, обратный к $F\left( z \right)$, обозначим $\tilde{F}\left( z \right)$. Тогда ${{\tilde{\alpha }}_{i}}=-{{\beta }_{i}}$, ${{\tilde{\beta }}_{i}}=-{{\alpha }_{i}}$; ряд ${{\tilde{f}}_{\alpha ,t}}\left( z \right)$ является обратным к ${{f}_{\beta ,t}}\left( z \right)$, ряд ${{\tilde{f}}_{\beta ,t}}\left( z \right)$ является обратным к ${{f}_{\alpha ,t}}\left( z \right)$.

[novichok2018]

Есть знакомый специалист высокого класса, который изучает всю жизнь представление комплексных поверхностей при помощи теории Ли, специальных матриц и начальных отрезков рядов (грубо говоря). Если Вам действительно это интересно, напишите в личку, свяжитесь с ним и поговорите про интересующее на профессиональном уровне.

[EvgenB]

novichok2018 в сообщении #1460049 писал(а):

Есть знакомый специалист высокого класса, который изучает всю жизнь представление комплексных поверхностей при помощи теории Ли, специальных матриц и начальных отрезков рядов (грубо говоря). Если Вам действительно это интересно, напишите в личку, свяжитесь с ним и поговорите про интересующее на профессиональном уровне.

Вы зря все усложняете. Я говорю о самых элементарных вещах, но с неожиданной точки зрения (на которую сам случайно наткнулся, благодаря этой ветке). Матрица $X$ представляет любой формальный степенной ряд вида $F\left( z \right)=z+{{a}_{2}}{{z}^{2}}+{{a}_{3}}{{z}^{3}}+...$. Т.е. это не специальная матрица, а общий (почти) случай.

[novichok2018]

Кватернионам тоже соответствуют матрицы, которые вместе с ними перемножаются. Нельзя это соответствие использовать для начальных отрезков рядов, хотя бы для 4 или 8 первых слагаемых?

[EvgenB]

Наверное, можно. Но в моем вопросе я бы хотел обойтись без комплексных чисел. Т.е. без лишних сложностей.