простота старшего собственного значения вещественной матрицы

[darieushka]

Здравствуйте!

Даны $N$ различных целочисленных ненулевых $d$-мерных вектора $x_1, \dots, x_N$ и на них строится вещественная симметричная матрица $A$ с элементами

$$a_{ij} = G_{\lambda}(x_i - x_j),$$

где $G_{\lambda}(x)$ -- функция Грина (простого случайного блуждания по $d$-мерной решетке):

$$ G_{\lambda}(x) := \frac{1}{(2\pi)^d} \int\limits_{[-\pi,\pi]^d}\frac{\cos \langle \theta, x \rangle d\theta}{1 + \lambda - \sum\limits_{i = 1}^d \cos \theta_i},$$

$\lambda$ -- некоторая положительная константа, за $\langle \theta, x \rangle$ обозначено скалярное произведение. Далее каждая строка матрицы умножается на ненулевую константу $c_i$, $i = 1, \dots, N$, по крайней мере одна из $c_i$ положительна. Нужно доказать, что старшее положительное собственное значение полученной матрицы имеет единичную кратность.

Про функции Грина в данном случае известно, что это убывающие по $x$ выпуклые вниз гладкие функции. В размерности $d = 1$

$$G_{\lambda} = ab^{|x|},$$

где $a$ и $b$ -- константы. Теорема Перрона-Фробениуса не работает, потому что среди $c_i$ могут быть отрицательные константы. Моделирование траекторий старшего собственного значения намекает на ее неперсекаемость с траекториями других. Возможно, есть идеи, с какой стороны подойти к доказательству простоты?

[svv]

Допустим, мы доказали простоту старшего собственного значения для матрицы $A$. Можем мы гарантировать, что это свойство сохранится после умножения строк на константы? Нет, не можем. Например, у хорошей симметричной матрицы $\operatorname{diag}(3,2,1)$ все собственные значения различны. Умножим первую строку на $2$, вторую на $3$, и старшее собственное значение полученной матрицы будет кратным.

Аналогично, если у матрицы $A$ старшее собственное значение уже кратное, нет никаких гарантий, что после умножения строк на константы (даже различные) старшее собственное значение будет простым. Пример: умножим строки матрицы $\operatorname{diag}(3,3,1)$ соответственно на $2,1,3$.

Резюме: умножение строк матрицы $A$ на константы $c_i$ вносит полную неопределённость в вопрос о кратности старшего собственного значения полученной матрицы.

[darieushka]

В том и задача - доказать, что не существует такого набора векторов $x_1, \dots, x_N$ с ненулевыми весами $c_1, \dots, c_N$ таких, чтобы старшее собственное значение было не простым.

[svv]

Вы можете привести для примера численные значения элементов матрицы $A$ для небольших порядков ($3\times 3$) для какого-то конкретного набора векторов $x_1, \ldots, x_N$ ? Я хочу попробовать подобрать константы так, чтобы старшее собственное значение стало кратным, и тем самым построить контрпример.

[Евгений Машеров]

Я правильно понимаю, что это у Вас симметричная тёплицева матрица? (До умножения на $c_i$)

[darieushka]

В Wolfram (https://www.wolframcloud.com/) для расчета $G_{\lambda}(x_1-x_2)$ при $d=1$ можно применить
G[lambd_, x1_, x2_] = 1/(lambd+2)* HypergeometricPFQRegularized[{1/2,1,1},{1-Abs[x1-x2],1+Abs[x1-x2]},2/(lambd+2)].

Для $\lambda = 1/4$ получается $G_{1/4}(x_1, x_2) = \frac{4}{3}*0.5^{|x_1-x_2|}$

-- 25.02.2020, 15:39 --

Евгений Машеров в сообщении #1441460 писал(а):

Я правильно понимаю, что это у Вас симметричная тёплицева матрица? (До умножения на $c_i$)

Симметричная, но не Теплицева. Про $A$ еще известна положительная определенность.

-- 25.02.2020, 16:30 --

svv в сообщении #1441455 писал(а):

Вы можете привести для примера численные значения элементов матрицы $A$ для небольших порядков ($3\times 3$) для какого-то конкретного набора векторов $x_1, \ldots, x_N$ ? Я хочу попробовать подобрать константы так, чтобы старшее собственное значение стало кратным, и тем самым построить контрпример.

$d = 1, \lambda = 1/4, x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = 5$
Матрица $A$:
[[4/3, 2/3, 1/12],
[2/3, 4/3, 1/6],
[1/12, 1/6, 4/3]]

На github код, я моделирую собственные значения в зависимости от $\lambda$: ссылка.

[svv]

Спасибо, это то, что нужно.

[darieushka]

svv в сообщении #1441482 писал(а):

Спасибо, это то, что нужно.

Вам спасибо :)

[svv]

darieushka
Сдаюсь. Похоже, эта штука действительно избегает кратного старшего собственного значения. Придётся доказывать. Понятия не имею, как это сделать.

[darieushka]

svv в сообщении #1441520 писал(а):

darieushka
Сдаюсь. Похоже, эта штука действительно избегает кратного старшего собственного значения. Придётся доказывать. Понятия не имею, как это сделать.

Спасибо, что поучаствовали. Для $d=1$, $N=3, 4$ доказала, решив уравнения с характеристическим многочленом.