Вопрос по теории вероятностей

[Rusit8800]

Вопрос возник из-за кажущегося противоречия в учебнике Ширяева на странице 31, которое я никак не могу разрешить.
Требуется доказать, что всякой алгебре $\mathfrak{B}$ подмножеств конечного множества $\Omega$ соответствует некоторое разбиение $\mathfrak{D}$ такое, что алгебра $\alpha(\mathfrak{D})$, порожденная этим разбиением, совпадает с $\mathfrak{B}$. В учебнике Ширяева строится множество

$$ \mathfrak{D}=\left \{ D \in \mathfrak{B} \mid \forall X \in \mathfrak{B} \hookrightarrow D \cap X = D \vee D \cap X = \varnothing \right \}$$

доказывается, что это разбиение, обладающее данным свойством.
Но тут возникает противоречие:
1) $\varnothing \in \mathfrak{B} \wedge \forall X \hookrightarrow X \cap \varnothing = \varnothing \Rightarrow \varnothing \in \mathfrak{D}$
2) $\mathfrak{D}$ - разбиение, поэтому $\varnothing \notin \mathfrak{D}$

Еще можно доказать аналогично, что всегда $\Omega \in \mathfrak{D}$. Однако алгебре $\mathfrak{B} = \{ A, \overline{A}, \Omega, \varnothing \}$ соответствует разбиение $\mathfrak{D} = \{ A, \overline{A} \}$, которое не содержит $\Omega$.

[arseniiv]

А как там определяется разбиение и алгебра $\alpha(\ldots)$? Ибо:
(1) $\Omega$ (для разбиения над $\Omega$) содержится только в одном из всех разбиений (обычных);
(2) не нужно, чтобы $\varnothing$ входило в разбиение, чтобы $\varnothing$ было в алгебре, если я правильно понимаю, как она по нему строится (но давайте проверим).

[Rusit8800]

1) Это система $\mathfrak{A}$ подмножеств $\Omega$ такая, что $\Omega \in \mathfrak{A}$ и $\forall A,B \in \mathfrak{A} \hookrightarrow A \cup B, A \cap B, A \setminus B \in \mathfrak{A}$
2) Разбиение - система непустых попарно непересекающихся множеств, сумма которых (объединение) равно $\Omega$.

[arseniiv]

Ну его и нет.

Rusit8800 в сообщении #1440898 писал(а):

Это система $\mathfrak{A}$ подмножеств $\Omega$ такая, что $\Omega \in \mathfrak{A}$ и $\forall A,B \in \mathfrak{A} \hookrightarrow A \cup B, A \cap B, A \setminus B \in \mathfrak{A}$

Ага, это у вас определение просто алгебры. А вот алгебры, получаемой из разбиения, какое?

Ну ладно, я сам предложу, а вы проверьте, что там такое же: алгебра, соответствующая разбиению $\{A_1,\ldots,A_n\}$ конечного $\Omega$ — это наименьшая алгебра, содержащая все $A_1,\ldots,A_n$. Отсюда можно будет получить, что каждый элемент алгебры представляется в виде $\bigcup_{i\in I} A_i$, где $I\subset\{1,\ldots,n\}$; всего в такой алгебре $2^n$ элементов, включая и пустое множество, и всё пространство, какое разбиение ни взять.

-- Сб фев 22, 2020 22:55:11 --

«Наименьшая алгебра» — содержащаяся в любой другой с тем же свойством. Хотя раз рассматривается конечное $\Omega$, можно понимать более буквально — наименьшая по мощности.

[Rusit8800]

arseniiv в сообщении #1440902 писал(а):

Ага, это у вас определение просто алгебры. А вот алгебры, получаемой из разбиения, какое?

Ну ладно, я сам предложу, а вы проверьте, что там такое же: алгебра, соответствующая разбиению $\{A_1,\ldots,A_n\}$ конечного $\Omega$ — это наименьшая алгебра, содержащая все $A_1,\ldots,A_n$. Отсюда можно будет получить, что каждый элемент алгебры представляется в виде $\bigcup_{i\in I} A_i$, где $I\subset\{1,\ldots,n\}$; всего в такой алгебре $2^n$ элементов, включая и пустое множество, и всё пространство, какое разбиение ни взять.

-- Сб фев 22, 2020 22:55:11 --

«Наименьшая алгебра» — содержащаяся в любой другой с тем же свойством. Хотя раз рассматривается конечное $\Omega$, можно понимать более буквально — наименьшая по мощности.

Ну да, именно такое определение дается в Ширяеве. Только там нет ссылок на наименьшее множество. Просто строится соответствующее множество из $2^n$ элементов. Давайте я перепишу доказательство из Ширяева, может я его неправильно понимаю.

Цитата:

Пусть $\mathfrak{B}$ - некоторая алгебра подмножеств $\Omega$. Тогда найдется и притом единственное разбиение $\mathfrak{D}$ такое, что его элементы (атомы) являются элементами алгебры $\mathfrak{B}$ и $\mathfrak{B} = \alpha(\mathfrak{D})$. В самом деле, пусть $D \in \mathfrak{B}$ и обладает тем свойством, что для всякого $B \in \mathfrak{B}$ множество $D \cap B$ или совпадает с $D$ или является пустым множеством. Тогда совокупность таких множеств $D$ образует разбиение $\mathfrak{D}$ с требуемым свойством $\mathfrak{B} = \alpha(\mathfrak{D})$.

Снова выпишу противоречие:
1) $\varnothing \in \mathfrak{B} \wedge \forall X \hookrightarrow X \cap \varnothing = \varnothing \Rightarrow \varnothing \in \mathfrak{D}$
2) $\mathfrak{D}$ - разбиение, поэтому $\varnothing \notin \mathfrak{D}$

[Connector]

Цитата:

что для всякого $B \in \mathfrak{B}$ множество $D \cap B$ или совпадает с $D$ или является пустым множеством.

Можно, конечно, придумать, что здесь строгое разделение, но это вряд ли. Мне кажется, что здесь действительно ошибка у автора. Надо было оговорить, что мы будем брать только непустые $D$.

[arseniiv]

А, теперь мне тоже видно, в чём дело! Да, вставка одного слова всё бы исправила.

[Rusit8800]

Пфф, потратил несколько дней на обмозговывание опечатки автора...
Бывает же такое...