Суммы рекурентных последовательностей

[Otta]

Farest2 в сообщении #1440608 писал(а):

Нет, тут "другой" Стирлинг:

Который ничего не дает, кроме обоснования расходимости. Замена в сумме на эквивалентные неправомочна.
Farid123
Воспользуйтесь теоремой Штольца. Ну и про Стирлинга не забудьте, конечно. Вовремя.

[Farest2]

Otta
Почему не даёт, мы же знаем асимптотический ряд:

$$ \begin{gathered} k!=\sqrt{2\pi k}\,\Bigl(\frac{k}{e}\Bigr)^k\!\cdot e^{\theta_k/12k} \stackrel{\rm def}{=}N_k\cdot(1+\varepsilon_k),\\ 0\le\varepsilon_k=e^{\theta_k/12k}-1\le e^{1/12}\cdot\frac{1}{12k} \quad\Rightarrow\quad k!=N_k\Bigl\{1+O\Bigl(\frac{1}{k}\Bigr)\Bigr\} \end{gathered} $$

Тогда

$$ A_k=\frac{2^{4k}k!^4}{(2k+1)!^2} =\frac{2^{4k}N_k^4\bigl\{1+O\bigl(\frac{1}{k}\bigr)\bigr\}^4} {N_{2k+1}^2\bigl\{1+O\bigl(\frac{1}{k}\bigr)\bigr\}^2} =\frac{2^{4k}N_k^4}{N_{2k+1}^2}\Bigl\{1+O\Bigl(\frac{1}{k}\Bigr)\Bigr\} $$

и т.д. Вроде, никаких подвохов.

[Otta]

Farest2
Если О большое вдобавок, а не просто эквивалентность, то да, что-то можно сделать. Но опять же, понадобятся какие-то телодвижения, поскольку все это верно для $k\to\infty$: для первых членов частной суммы применить Стирлинга в любом виде будет немыслимо. Разумеется, из суммы можно выкинуть любое фиксированное конечное количество слагаемых так, что это не повлияет на предел. Однако, это дополнительные довольно замысловатые пляски с бубном, и устраивать их в таком случае придется.

[Farest2]

Говоря про главный член асимптотики, я постоянно упоминал о необходимости не забывать про остаточный член. Что касается

Otta в сообщении #1440845 писал(а):

для первых членов частной суммы применить Стирлинга в любом виде будет немыслимо

то это вполне нормальный трюк: при наличии логарифма в знаменателе не следует обращать внимание на всякую мелочь типа $O(1)$ в числителе (т.е. заменяем факториалы на Стирлинга, разность-то всё равно конечна). Впрочем, Вы следующей фразой примерно то же самое сказали.

В главном Вы правы. Если эта задача для отдачи преподавателю в бумажно-файловом виде, то надо озаботиться доказательной базой. В диалоге на экзамене, я думаю, вполне можно всё "на словах" растолковать.