Полнота системы функций Эрмита

[thething]

Здравствуйте. Доказываю полноту системы $p_n(t)e^{-\frac{t^2}{2}}$ функций Эрмита, полученной ортогонализацией системы $t^ne^{-\frac{t^2}{2}}$, $n\in\mathbb{N}\cup\{0\}$ в пространстве $L_2(\mathbb{R})$. Ясно, что достаточно проверить, что, если $x(t)\in L_2(\mathbb{R})$ и $\forall n\in\mathbb{N}\cup\{0\}$ $\displaystyle\int\limits_\mathbb{R}x(t)t^ne^{-\frac{t^2}{2}}dt=0$, то $x(t)=0$ почти всюду.

Моя идея такова: для всех $\tau\in \mathbb{R}$ $\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty\displaystyle\int\limits_\mathbb{R}x(t)e^{-\frac{t^2}{2}}\cdot\frac{(i\tau t)^n}{n!}dt=0$. С другой стороны, если обозначить $\mu_n$ -- считающую меру на измеримом пространстве $(\mathbb{N}\cup\{0\},M)$, то можно записать, что $\displaystyle\int\limits_{\mathbb{N}\cup\{0\}}\displaystyle\int\limits_\mathbb{R}x(t)e^{-\frac{t^2}{2}}\cdot\frac{(i\tau t)^n}{n!}dtd\mu_n=0$. Легко убедиться, что повторный интеграл $\displaystyle\int\limits_\mathbb{R}\displaystyle\int\limits_{\mathbb{N}\cup\{0\}}\left|x(t)e^{-\frac{t^2}{2}}\cdot\frac{(i\tau t)^n}{n!}\right|d\mu_ndt$ существует, а потому применима теорема Фубини и $0=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty\displaystyle\int\limits_\mathbb{R}\displaystyle x(t)e^{-\frac{t^2}{2}}\cdot\frac{(i\tau t)^n}{n!}dt=\int\limits_\mathbb{R} x(t)e^{-\frac{t^2}{2}}\cdot e^{i\tau t}dt$. Таким образом, преобразование Фурье функции $x(t)e^{-\frac{t^2}{2}}\in L_1(\mathbb{R})$ равно нулю и, в силу теоремы единственности, $x(t)=0$ почти всюду.

Собственно, мой вопрос, есть ли в этом рассуждении какие-то ошибки, которых я не замечаю? Вопрос вызван тем, что во всех виденных мной источниках полнота системы Эрмита доказывается однообразно исключительно с привлечением ТФКП. Может, в какой-то литературе есть что-то похожее на мои выкладки (если, конечно, в них не содержится критических ошибок).

[g______d]

thething в сообщении #1440564 писал(а):

Легко убедиться, что повторный интеграл $\displaystyle\int\limits_\mathbb{R}\displaystyle\int\limits_{\mathbb{N}\cup\{0\}}\left|x(t)e^{-\frac{t^2}{2}}\cdot\frac{(i\tau t)^n}{n!}\right|d\mu_ndt=0$ существует

Каким образом модуль попал под интеграл?

[thething]

g______d в сообщении #1440598 писал(а):

Каким образом модуль попал под интеграл?

Это условие теоремы Фубини, чтобы хоть один повторный интеграл от модуля существовал. А вот равно нулю там -- лишнее, издержки копирования.

[g______d]

thething в сообщении #1440599 писал(а):

Это условие теоремы Фубини

Тогда стоит подробнее объяснить, почему оно выполняется (почему сумма интегралов от модулей конечна).

[thething]

g______d в сообщении #1440613 писал(а):

почему сумма интегралов от модулей конечна

Я рассматриваю интегралы в другом порядке, т.е. получается интеграл суммы. Если свернём ряд в экспоненту, получим интеграл $\displaystyle\int\limits_\mathbb{R}|x(t)|e^{-\frac{t^2}{2}}\cdot e^{|\tau t|}dt$. А этот интеграл конечен в силу того, что $x\in L_2(\mathbb{R})$ и неравенства Гёльдера.

[g______d]

Да, понятно. Вроде бы правильно, подвоха не вижу.

[SiberianSemion]

thething в сообщении #1440564 писал(а):

$\mu_n$ -- считающую меру на измеримом пространстве $(\mathbb{N}\cup\{0\},M)$

Я дико извиняюсь, а тут подразумевается обычное суммирование?

[thething]

Если речь идёт об интеграле по считающей мере, то да -- это просто сумма значений функции в точках множества при условии, что полученный ряд сходится абсолютно. К интегралу я перешёл, чтобы теорему Фубини применить. В чистом виде таких теорем о перестановке суммы ряда и интеграла я не встречал (за исключением теоремы Леви, но та только для неотрицательных функций).

[svv]

(Оффтоп)

thething в сообщении #1440564 писал(а):

Доказываю полноту системы $p_n(t)e^{-\frac{t^2}{2}}$ функций Эрмита, полученной ортогонализацией системы $t^ne^{-\frac{t^2}{2}}$, $n\in{\color{magenta}\mathbb{N}\cup\{0\}}$ в пространстве $L_2(\mathbb{R})$. Ясно, что достаточно проверить, что, если $x(t)\in L_2(\mathbb{R})$ и $\forall n\in{\color{magenta}\mathbb{N}\cup\{0\}}$ $\displaystyle\int\limits_\mathbb{R}x(t)t^ne^{-\frac{t^2}{2}}dt=0$, то $x(t)=0$ почти всюду.

Моя идея такова: для всех $\tau\in \mathbb{R}$ $\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty\displaystyle\int\limits_\mathbb{R}x(t)e^{-\frac{t^2}{2}}\cdot\frac{(i\tau t)^n}{n!}dt=0$. С другой стороны, если обозначить $\mu_n$ -- считающую меру на измеримом пространстве $({\color{magenta}\mathbb{N}\cup\{0\}},M)$, то можно записать, что $\displaystyle\int\limits_{{\color{magenta}\mathbb{N}\cup\{0\}}}\displaystyle\int\limits_\mathbb{R}x(t)e^{-\frac{t^2}{2}}\cdot\frac{(i\tau t)^n}{n!}dtd\mu_n=0$. Легко убедиться, что повторный интеграл $\displaystyle\int\limits_\mathbb{R}\displaystyle\int\limits_{{\color{magenta}\mathbb{N}\cup\{0\}}}\left|x(t)e^{-\frac{t^2}{2}}\cdot\frac{(i\tau t)^n}{n!}\right|d\mu_ndt$ существует, а потому применима теорема Фубини и $0=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty\displaystyle\int\limits_\mathbb{R}\displaystyle x(t)e^{-\frac{t^2}{2}}\cdot\frac{(i\tau t)^n}{n!}dt=\int\limits_\mathbb{R} x(t)e^{-\frac{t^2}{2}}\cdot e^{i\tau t}dt$.

Отныне и навеки объявляю нуль натуральным числом.

[novichok2018]

В Колмогорове-Фомине короткое доказательство для более общих систем, включая Эрмиты. Использует преобразование Фурье и теорему Хана-Банаха.

[thething]

novichok2018
Это мне известно, там как раз используется продолжение в полосу на комплексной плоскости и свойство дифференцирования преобразования Фурье (равенство нулю всех производных в нуле). Меня скорее интересовало, нет ли где чисто "действительно-анализного" доказательства. Ну не мог же только я до этого додуматься.

[novichok2018]

В книге Натансона Конструктивная теория функций на с. 468 и 472 приводятся с доказательствами две теоремы В.А.Стеклова, из которых следует полнота системы Эрмита, а лучше сказать и исторически точнее, следуя книге Суэтина по ортополиномам, Чебышёва-Эрмита. Используются только действительный матан и несложные вычисления, без Фурье и функана, как Вы хотели. Основная идея - рассмотреть плотные функции, финитные возле нуля и на бесконечностях, их приближать полиномами, а полиномы - нужными рядами по Эрмитам.

В книге Сегё в начале тоже есть прямое доказательство через плотность полиномов, но одно ссылается на другое, не очень наглядное.

[thething]

novichok2018
За наводку на Натансона спасибо, не знал этой книги.

[novichok2018]

Почему в самом начале Вашего доказательства можно вынести сумму для экспоненты под интегралом за интеграл?
И насколько всё привязано к Эрмитам? Нельзя применить к другим ортополиномам, Лагеррам, Лежандрам и вообще общим?

[thething]

novichok2018 в сообщении #1440970 писал(а):

Почему в самом начале Вашего доказательства можно вынести сумму для экспоненты под интегралом за интеграл?

Написана просто сумма нулей. Смысл в том, чтобы знак суммы занести под знак интеграла и тогда получить экспоненту.

novichok2018 в сообщении #1440970 писал(а):

И насколько всё привязано к Эрмитам? Нельзя применить к другим ортополиномам, Лагеррам, Лежандрам и вообще общим?

К Лагерру нельзя, экспонента недостаточно мала. К Лежандру, в-общем-то можно, если продолжить функцию нулём за пределы отрезка, но смысла в этом как-то мало, ибо по аппроксимационной теореме Вейерштрасса получается гораздо проще.