Доказательство существования параллельных прямых

[korytko]

Здравствуйте. В "Пособии для углубленного изучения математики.Планиметрия" за авторством Бутузова в п. 13 ("признаки параллельности двух прямых") первой главы автор пишет (не дословно), что если С - секущая, пересекающая прямые А и В и накрест лежащие углы при этом прямые, то при перегибании плоскости по секущей C правая часть построения наложится на левую; значит если прямые A и B пересекались бы справа, то пересекались бы и слева, что невозможно, значит они не пересекаются. И вот это мне совсем не очевидно. Ведь можно представить, что А и В пересекаются по одну сторону от С и даже вопреки равенству накрест лежащих углов при перегибе части построения могут частично наложиться, а потом просто разойтись. Откуда следует, что они обязательно наложатся друг на друга (т.е. если справа пересекаются, то и слева пересекаются)? Буду рад, если наведете на верные рассуждения. Спасибо.

[iifat]

Что есть «частично наложиться»? Если это означает общий отрезок или хотя бы две точки (а учитывая, что одна точка — пересечение с секущей — уже есть, то достаточно и одной), то прямые просто обязаны совпасть.

[vpb]

Во-первых, слово "перегнули" неудачное. Лучше говорить "перевернули". Перегибание --- это как лист бумаги, сложили вдвое. А переворачивание --- это, значит, правая полуплоскость наложилась на левую, а левая --- наоборот, на правую. Надо понимать, что при переворачивании
(а) любая точка накладывается на какую-то другую;
(б) и наоборот, на любую точку какая-то накладывается (как говорят математики, "для любой точки плоскости существует одна и только одна точка, отображающаяся на нее при данном наложении", или еще говорят "наложение является взаимно-однозначным отображением плоскости на себя");
и
(в) любая прямая при наложении накладывается на какую-то прямую, и
(г) при наложении отрезок всегда накладывается на отрезок той же длины, а угол --- на угол той же величины.
(а,б, в, г --- это аксиомы. Хотя пока что в книжке об этом не написано.)

Пусть $X$ обозначает точку пересечения прямых $a$ и $c$. Пусть $h$ --- луч прямой $a$, лежащий справа от $X$, а $k$ --- лежащий слева. При переворачивании луч обязан перейти в луч. А углы сохраняются. Значит, луч $h$ перейдет в луч, обозначим его $h'$, который составляет с прямой $c$ тот же угол, что и $h$ (учтем, что прямая $c$ переходит сама в себя), т.е. перпендикулярен ей. При этом этот луч $h'$ должен попасть в левую полуплоскость относительно $c$. Но луч из точки $X$, лежащий в левой полуплоскости и притом перепендикулярный $c$, только один. Значит, $h'$ и $k$ --- один и тот же луч. Короче, при переворачивании луч $h$ накладывается на $k$. И совершенно аналогично луч $k$ накладывается на $h$.

Пусть теперь $Y$ --- предполагаемая точка пересечения прямых $a$ и $b$ в правой полуплоскости. При переворачивании она перейдет в какую-то точку $Y'$, лежащую в левой полуплоскости. Тем самым луч $XY$ должен перейти в луч $XY'$. Но луч $XY$ --- это $h$. Значит, луч $XY'$ должен совпадать с лучом $k$. Поэтому, в частности,точка $Y'$ лежит на луче $k$. И тем более она лежит на прямой $a$.

Совершенно аналогичное рассуждение показывает, что точка $Y'$ должна лежать и на прямой $b$. Значит, обе точки $Y$ и $Y'$ лежат на обоих прямых $a$ и $b$. Чего быть не может.