Вычисление коэффициентов Ламе

[Sargrivus]

Добрый день, товарищи! Кто-нибудь может помочь разобраться в каком месте имеется косяк при вычислении различными способами коэффициентов Ламе для параболической системы координат?

Сами координаты $\left\{ \xi, \eta, \varphi \right\}$ задаются связью с цилиндрическими координатами соотношениями

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \rho &=& \sqrt{\xi \cdot \eta}\\ z &=& \dfrac{\xi - \eta}{2}\\ \varphi &=& \varphi \end{array} \right.$$

Очевидно, что аналогичные соотношения можно записать и для декартовых координат

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x &=& \sqrt{\xi \, \eta} \cdot \cos{\varphi}\\ y &=& \sqrt{\xi \, \eta} \cdot \sin{\varphi}\\ z &=& \dfrac{\xi - \eta}{2}\\ \end{array} \right.$$

Теперь зададимся вопросом вычисления соответствующих коэффициентов Ламе $\left\{H_{\xi}, H_{\eta}, H_{\varphi} \right\}$. Оба базиса, и декартов $\left\{ \vec{e}_{x}, \vec{e}_{y}, \vec{e}_{z} \right\}$, и цилиндрический $\left\{ \vec{e}_{\rho}, \vec{e}_{\varhi}, \vec{e}_{z} \right\}$ являются ортонормированными, поэтому казалось бы коэффициенты Ламе без разницы из какой системы координат выражать.

Например

$$ H_{\xi}^{\text{Декарт}} = \sqrt{{\left( \dfrac{\partial x}{\partial \xi} \right)}^{2} + {\left( \dfrac{\partial y}{\partial \xi} \right)}^{2} + {\left( \dfrac{\partial z}{\partial \xi} \right)}^{2}} = \dots = \dfrac{1}{2} \sqrt{\dfrac{\xi + \eta}{\xi}} $$

Аналогичный результат получается и при вычислении через цилиндрические координаты

$$ H_{\xi}^{\text{цилиндр}} = \sqrt{{\left( \dfrac{\partial \rho}{\partial \xi} \right)}^{2} + {\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial \xi} \right)}^{2} + {\left( \dfrac{\partial z}{\partial \xi} \right)}^{2}} = \dots = \dfrac{1}{2} \sqrt{\dfrac{\xi + \eta}{\xi}} $$

А вот с коэффициентом Ламе для угла ситуация кардинально иная!

$$ \begin{array}{rcl} H_{\varphi}^{\text{Декарт}} &=& \sqrt{{\left( \dfrac{\partial x}{\partial \varphi} \right)}^{2} + {\left( \dfrac{\partial y}{\partial \varphi} \right)}^{2} + {\left( \dfrac{\partial z}{\partial \varphi} \right)}^{2}} = \dots = \sqrt{\xi \, \eta} \\ H_{\varphi}^{\text{цилиндр}} &=& \sqrt{{\left( \dfrac{\partial \rho}{\partial \varphi} \right)}^{2} + {\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial \varphi} \right)}^{2} + {\left( \dfrac{\partial z}{\partial \varphi} \right)}^{2}} = 1 \end{array} $$

И вот здесь вопрос: как вообще такое может быть? В элемент длины не входит "предыстория" того как были получены коэффициенты при соответствующих координатах. Также не понятно как получилась размерность $H_{\varphi}^{\text{цилиндр}}$ равна единице, а не длине.


Как, по мне, очевидно, что где-то допускается ошибка при рассуждении о допустимости вычисления коэф. Ламе через цилиндрические координаты, но я её не могу уловить.

[svv]

В тех источниках, которые я видел, выражения декартовых координат через параболические не содержат квадратного корня. У Вас какое-то другое определение? ($\xi=\tau^2, \eta=\sigma^2$).

Sargrivus в сообщении #1440245 писал(а):

В элемент длины не входит "предыстория" того как были получены коэффициенты при соответствующих координатах.

Да, конечно. Оба результата должны совпадать.

Sargrivus в сообщении #1440245 писал(а):

Также не понятно как получилась размерность $H_{\varphi}^{\text{цилиндр}}$ равна единице, а не длине.
Как, по мне, очевидно, что где-то допускается ошибка при рассуждении о допустимости вычисления коэф. Ламе через цилиндрические координаты.

В общем случае формула более сложная, в неё входят не только частные производные от "старых" координат по "новым", но и коэффициенты Ламе в "старых" координатах, в данном случае цилиндрических. (В декартовых они равны единице и потому их присутствие или отсутствие "не ощущается").