Неравенство треугольника

[oleg.k]

Неравенство треугольника для евклидовой метрики в пространстве $\mathbb{R}^{m}$ является частным случаем неравенства Минковского, которое выводится с помощью неравенства Гельдера, которое выводится из неравенства Юнга, которое выводится с помощью достаточного условия локальных максимумов и минимумов при дифференцировании кое-какой функции одной вещественной переменной. Я же хочу стартануть сразу с многомерного случая, поэтому мне надо доказать неравенство треугольника "в лоб". Но как это сделать я не знаю. Поможете с идеей?

[Xaositect]

Неравенство треугольника для евклидовой метрики эквивалентно неравенству Коши-Буняковского, которое выводится элементарно (по сути, из двумерного случая).

[novichok2018]

Посмотрите стандартные учебники функана - Колмогоров/Фомин, Люстерник/Соболев, например.

[oleg.k]

Спасибо, с метрикой разобрался. По ходу дела возник еще один вопрос.

Зорич писал(а):

Множество $G = \{x \in \mathbb{R}^{n}| d(a, x) > r\}$, т.е. совокупность точек, удаленных от фиксированной точки $a \in \mathbb{R}^{n}$ на расстояние, большее чем $r$, является открытым, что, как и в примере 3, легко проверить, используя неравенство треугольника для метрики.

В примере 3 речь шла про то, что шар без границы является открытым множеством. Я для шара это доказал, получилось очень легко. А вот для множества из цитаты доказать не могу. Ясно дело, что оно открытое, это очевидно. Но я хочу провести все выкладки.

Я выбрал произвольную точку $x \in G$. Выбрал ее окрестность - открытый шар $B(x, \delta)$, где $0 < \delta < [d(a, x) - r]$. Далее надо доказать, что для произвольной точки $\xi \in B(x, \delta)$ будет справедливо $d(\xi, a) > r$. Вот с этим местом у меня и возникли проблемы. Причем Зорич утверждает, что здесь все легко получается, используя неравенство треугольника для метрики. Как это сделать?

[Connector]

По аксиоме треугольника $d(x, a) \leq d(x, \xi)+d(\xi, a)$. Предположив, что $d(\xi, a) \leq r$, и учитывая выбор точки $\xi$, придём к противоречию.

[oleg.k]

Connector в сообщении #1439462 писал(а):

По аксиоме треугольника $d(x, a) \leq d(x, \xi)+d(\xi, a)$. Предположив, что $d(\xi, a) \leq r$, и учитывая выбор точки $\xi$, придём к противоречию.

1. $d(x, a) \leqslant d(a, \xi) + d(\xi, x)$
$d(x, a) - d(\xi, x) \leqslant d(a, \xi)$

2. $d(\xi, x) < \delta$
$-\delta < -d(\xi, x)$
$d(x, a) - \delta < d(x, a) - d(\xi, x)$

3. Из 1 и 2 получаем:
$d(x, a) - \delta < d(a, \xi)$

4. $0 < \delta < d(a, x) - r$
$r< d(a,x) - \delta$

5. Из 3 и 4 получаем:
$r < d(a, \xi)$




Я сегодня 10 раз начинал с неравенства $d(\xi, a) \leqslant d(\xi, x) + d(x, a)$ вместо того, чтобы выбрать Ваше неравенство Вобщем, большое Вам спасибо

[RIP]

(Оффтоп)

Вообще, полезно помнить, что неравенство треугольника имеет эквивалентную формулировку с разностями: $d(a,b)\geqslant\bigl\lvert d(a,c)-d(b,c)\bigr\rvert$.