abc гипотеза: чему равна постоянная K(e)

[Soul Friend]

Помогите понять формулировку abs гипотезы, а именно постоянную $K(\varepsilon)$.
$K(\varepsilon)=\varepsilon$ ?
Понятно, что $0<\varepsilon<1$ , и для каждой тройки $a, b, c$ она, $\varepsilon$ , может быть разная, но в формулировке говорится что $K(\varepsilon)$ постоянная, и что для $a<b<c$ :
$c\leqslant K(\varepsilon) \cdot (rad(abc))^{1+\varepsilon}$
$c>K(\varepsilon) \cdot rad(abc)$
или всё же $K(\varepsilon)$ не постоянная, и меняется в зависимости от $\varepsilon$ ?
Для примера $a=2$ , $b=5$, $c=7$ , чему будет равнятся $K(\varepsilon)$ и $\varepsilon$ ?

[Sonic86]

Ну давайте Ваши попытки решения
https://ru.wikipedia.org/wiki/Abc-%D0%B ... 0%B7%D0%B0
вот тут можете смотреть формулировку

[Soul Friend]

Sonic86 в сообщении #1439301 писал(а):

Ну давайте Ваши попытки решения

Soul Friend в сообщении #1439297 писал(а):

Для примера $a=2$ , $b=5$, $c=7$ , чему будет равнятся $K(\varepsilon)$ и $\varepsilon$ ?

$\varepsilon = 0.17904...$
$K(\varepsilon) = \varepsilon$.
Я в вики и смотрел.

[Sonic86]

Soul Friend в сообщении #1439297 писал(а):

Для примера $a=2$ , $b=5$, $c=7$ , чему будет равнятся $K(\varepsilon)$ и $\varepsilon$ ?

Это не попытка - это просто Ваш вопрос. Ну выполните подстановку что-ли и упростите выражение.

Soul Friend в сообщении #1439297 писал(а):

или всё же $K(\varepsilon)$ не постоянная, и меняется в зависимости от $\varepsilon$ ?

А как Вы вообще понимаете записи вида $K(\varepsilon), \zeta(s), f(x), P(t)$?

[Soul Friend]

Sonic86 в сообщении #1439304 писал(а):

А как Вы вообще понимаете записи вида $K(\varepsilon), \zeta(s), f(x), P(t)$?

Функции с одной переменной, но не как констаны или постоянные.
Ведь, если $K(\varepsilon)$ - функция, то таких функци $K$ от $\varepsilon$ может быть много, и результаты этих функции будут отличатся.

$7<0.17904 \cdot (2 \cdot 5 \cdot 7)^{1+0.17904}$
$7>(2 \cdot 5 \cdot 7)^{1+0.17904}$

[grizzly]

Soul Friend
Всё просто. Постоянная она относительно переменных $a,b,c$. Наверное, чуть аккуратнее было бы писать $K_\varepsilon $ -- это меньше сбивало бы с толку неискушённых читателей :)

[Soul Friend]

grizzly

grizzly в сообщении #1439308 писал(а):

Постоянная она относительно переменных $a,b,c$.

Для некоторых переменных $a, b, c$ , или для всех взаимопростых положительных, целых, где $a+b=c$?
из определения - "существует конечное число троек $a, b, c$ " , означает не для всех, если я правильно понял.

И, можно ли "рассматривать- доказывать" частные случаи ? Такие как:
1) $a+p=c$
2) $a+b=p$
3)$p_1^x+p_2^y=p_3^z$
4)$p_1^x+p_2^y=c$
5)$a+b=c$
где $p_i^{x, y, z}$ - просые числа, $a, b, c$ - составные.

[grizzly]

Soul Friend в сообщении #1439312 писал(а):

Для некоторых переменных $a, b, c$ , или для всех взаимопростых положительных, целых, где $a+b=c$?

Не могу угадать, что Вы понимаете под словом "переменная" и какая, по-Вашему, разница между обозначенными в приведенной цитате альтернативами в условиях рассматриваемого определения. Попытайтесь заменить слово "переменная" в моём предыдущем сообщении на слово "аргумент", так не будет понятнее?

[Soul Friend]

слово "переменная" лишнее. Правильно будет "для конечного количества троек $a, b, c$. (акцент на слово "конечного")

[mihaild]

Вот не люблю я эту терминологию с постоянными-переменными и "существует дельта, зависящее только от эпсилон" - есть же кванторы, с которыми никакой путаницы точно не будет. В данном случае будет $\forall \varepsilon \exists K \forall a \forall b \forall c: \text{понятно что}$. И читается понятно: нам приносят $\varepsilon$, мы должны выдать $K$, нам после этого принесут $a, b, c$ и нужно чтобы всё точно сошлось.

[Soul Friend]

Soul Friend в сообщении #1439312 писал(а):

3)$p_1^x+p_2^y=p_3^z$

Этот случай, как мне кажется, будет полегче остальных рассматривать, ведь $p_1=2$ ; $p_2$ и $p_3$ - простые числа близнецы.

[Sonic86]

Soul Friend в сообщении #1439305 писал(а):

Ведь, если $K(\varepsilon)$ - функция, то таких функци $K$ от $\varepsilon$ может быть много, и результаты этих функции будут отличатся.

Формально их там много, но если знак неравенства заменить на знак равенства, сколько их будет?

Soul Friend в сообщении #1439305 писал(а):

$7<0.17904 \cdot (2 \cdot 5 \cdot 7)^{1+0.17904}$
$7>(2 \cdot 5 \cdot 7)^{1+0.17904}$

Откуда Вы взяли какое-то $0.17904$? Вам даны только $a,b,c$, $\varepsilon$ - переменная, $K(\varepsilon)$ - подставьте и получите ограничение на $K(\varepsilon)$.

-- Ср фев 12, 2020 05:46:55 --

Soul Friend в сообщении #1439312 писал(а):

Для некоторых переменных $a, b, c$ , или для всех взаимопростых положительных, целых, где $a+b=c$?

Вы внимательно читали?:

Википедия писал(а):

Для любого $\varepsilon >0$ существует постоянная $K(\varepsilon )$, при которой для любых трёх взаимно простых целых чисел $a,b,c$, таких, что...

[Soul Friend]

На английской версии вики $K_\varepsilon$ - аргумент, а не функция, и сравнение в формулировке гипотезы однозначно $<$ а не $\leqslant$. (хотя, наверное это не имеет значения)
И есть несколько вариантов формулировок, в одной из которых говорится что " Для каждого положительного действительного числа $\varepsilon$ существует только конечное число троек $( a , b , c )$ взаимно простых положительных целых чисел с $a + b = c$ , таких что..."
Хоть один пример бы привели там на вики для $K_\varepsilon, \varepsilon$ для всех $a, b, c$ где $a, b, c>1$, а то там есть пример для $a=1$ и $K$ указано не явно.

[Sonic86]

Soul Friend в сообщении #1439647 писал(а):

Хоть один пример бы привели там на вики для $K_\varepsilon, \varepsilon$ для всех $a, b, c$ где $a, b, c>1$, а то там есть пример для $a=1$ и $K$ указано не явно.

Например, при $\varepsilon = 1, K(\varepsilon)<1$, т.е. $(\forall a,b,c)a+b=c\Rightarrow c<(\mathrm{rad}(abc))^2$
Пруф только такой: https://youtu.be/enQ24KCzKt0?t=1773

[Soul Friend]

А что известно о нижней границе $\varepsilon$ ?
На примере нескольких вычислений пришел к тому, что $\min \varepsilon=e\cdot (\frac12)-1=0.3591409142295226...$
Поэтому формулировку можно немного изменить:

$$c<K\cdot (rad(abc))^{e \cdot(1/2)}$$

где $K$ не превышает самый большой простой делитель чисел $a, b, c$ (это только предположение)
Или:

$$c>(rad(abc))^{e \cdot(1/x)}$$

$1.3\leqslant x \leqslant 2$