Смысл ядра отношений

[damir_777]

Здравствуйте.
Скажите , а в чем заключается смысл ядра отношений?
Например, если xRy- x есть родитель y. Обратное отношение yRx-y есть ребенок x. Композиция отношений даст ядро. Но что оно будет
обозначать? Конечно, это не математическая ситуация, так что большого смысла в ней нет). Но в математике это где применяется?

[Connector]

Я так понимаю, что если $R$ функционально, то ядро поможет "собрать" прообразы.

damir_777 в сообщении #1439220 писал(а):

так что большого смысла в ней нет

И всё же смысл есть.

[arseniiv]

Ну так тут всё по определению вроде видно: $(x, x')$ входит в $\operatorname{ker}R$, если существует хоть один $y$ такой, что $(x, y)$ и $(x', y)$ входят в $R$, то есть если они «соотносятся с чем-то одинаковым». Иначе говоря представьте, что $R$ — это множество рёбер ориентированного графа (возможно с петлями), тогда $(x, y)\in R$ означает, что из $x$ в $y$ можно попасть, пройдя по одному ребру, а $(x, x')\in\operatorname{ker}R$, если из $x$ и $x'$ можно, пройдя по одному ребру из каждого, попасть в одно и то же.

А что будет обозначать ядро отношения «(1) есть родитель (2)», это вы теперь сами вычислите. И проверим.

-- Пн фев 10, 2020 22:54:16 --

Правда человеческим языком лучше выражается, и интерес обычно больше представляет, ядро обратного к этому отношения.

[Евгений Машеров]

damir_777 в сообщении #1439220 писал(а):

Например, если xRy- x есть родитель y. Обратное отношение yRx-y есть ребенок x. Композиция отношений даст ядро. Но что оно будет
обозначать?

В рамках Вашего примера - родительское собрание

[Munin]

Кажется, это всего-навсего ядро в категории отношений.

[arseniiv]

Не, если скомпозировать $R\circ R^{-1}$ и $R$ в любом порядке, не для всех $R$ получится пустое отношение (они являются нулевыми морфизмами в этой категории). (Проверка: возьмём за $R$ диагональное отношение, тогда в результате получается оно же как ни крути.) Название «ядро» многих смущает, но какое есть.

[damir_777]

Кстати если проводить аналогию с графами, ядро отношений то же самое что и ядро графа?

[arseniiv]

Не, это уже третий вид ядра.

-- Вт фев 11, 2020 20:51:44 --

В частности это можно проверить на утверждении «цикл нечётного порядка является своим же ядром» со страницы в русской Википедии про ядро графа: с точки зрений отношений любое отношение-цикл будет иметь диагональное ядро, совпадающее с исходным отношением-циклом только для длины 1.

Ещё ядро отношения всегда симметрично, тогда как ядро графа не обязательно таково, что если в нём есть ребро $(u, v)$, то есть и ребро $(v, u)$ — опять же пример с циклом.