Алгебры Ли: подалгебра Картана.

[Alex-Yu]

Уважаемые математики, помогите физику разобраться. По некоторым причинам потребовалось понять, что такое подалгебры Картана. В [Желобенко, Штерн "Представления групп Ли"] читаю, что если $G$ -- алгебра Ли, а $H$ -- ее подалгебра, то $H$ является подалгеброй Картана если выполяняются два условия:
1) $H$ --- максимальная коммутативная подалгебра.
2) операторы $ad_h$ $(h \in H)$ диагональны в $G$.

Пункт 2) я понимаю так (а что, можно понять иначе???): $[h,x]=\alpha x$, где $h \in H$, $x \in G$, $\alpha$ -- число. Я так понимаю, что число $\alpha$ может зависеть от $h$, нет вопросов, но от $x$ это число зависеть не может. Действительно, если $[h,x_1]=\alpha_1 x_1 $, $[h,x_2]=\alpha_2 x_2$, $\alpha_1 \ne \alpha_2$, то для $x_3=x_1+x_2$ получается $[h,x_3] \ne \alpha_3 x_3$. Но такого быть не может, чтобы $\alpha$ не зависело от $x$. Например, если $x$ лежит в $H$, то $\alpha$ -- ноль, а если в $H$ не лежит, то не ноль.

Где я заврался??? Уже всю голову сломал, а понять никак не могу...

[vpb]

Это от позднего часу... Вот смотрите. Пусть есть оператор на двумерном пространстве, с собственными значениями $2$ и $3$, скажем. Тогда есть в пространстве базис, в котором этот оператор действует диагонально. Но неверно, что он переводит каждый элемент пространства в кратный ему.

В пункте 2) надо написать не "диагональны", а "диагонализируемы". Более того, можно доказать, что при этих условиях (если каждый отдельный оператор из $H$ действует на $G$ диагонализируемым образом) существует базис, в котором каждый оператор действует диагонально.

Пример самый обычный: пусть $G=sl_n$ --- алгебра всех $n\times n$ матриц со следом $0$. Пусть $H$ --- подалгебра диагональных матриц. Тогда одномерное пространство, натянутое на матрицу $e_{ij}$, при $i\ne j$ --- инвариантно относительно всех $ad(h)$, $h\in H$. (проверьте!).

[Alex-Yu]

vpb в сообщении #1439111 писал(а):

В пункте 2) надо написать не "диагональны", а "диагонализируемы"

Если так, то совсем другое дело! Но у Желобенко-Штерна написано "диагональны". Ладно, будем считать опечатка

Если позволите, то тогда пойдем дальше. Есть ли конструктивный способ нахождения картановской подалгебры и базиса, в котором выполняется условие $[h,x]=\alpha(h,x) x$, где $x$ - любой вектор базиса в $G$ (а вовсе не любой вектор $G$)? Вот есть у меня некий набор из $N$ матриц, являющийся базисом алгебры Ли. Ничего про них не известно кроме того, что коммутатор любой пары равен линейной комбинации этих матриц. Но матрицы заданы, в цифирьках. Что я должен запрограммировать в компьютере, чтобы компьютер мне сказал 1) какая размерность картановской подалгебры $K$, 2) выдал новые матрицы, первые $K$ из которых -- это базис картановской подалгебры, все они друг с другом коммутируют, а оставшиеся такие, что выполняется указанное выше соотношение. Все матрицы вместе, естественно, должны составлять базис, т.е. каждая должна быть линейной комбинацией старых матриц.

Проблему конечной точности вычислений пока оставим стороне, представим себе, что у нас есть компьютер, способный делать точные вычисления с действительными числами (ну тогда и с комплексными тоже).

[Munin]

vpb в сообщении #1439111 писал(а):

В пункте 2) надо написать не "диагональны", а "диагонализируемы". Более того, можно доказать, что при этих условиях (если каждый отдельный оператор из $H$ действует на $G$ диагонализируемым образом) существует базис, в котором каждый оператор действует диагонально.

Правильно ли я понимаю, что это означает "одновременно диагонализуемы"?

[Slav-27]

NB: мы обсуждаем конечномерные комплексные (UPD:) редуктивные алгебры Ли, в общем случае определение картановской подалгебры другое.

Alex-Yu в сообщении #1439150 писал(а):

Есть ли конструктивный способ нахождения картановской подалгебры

Да. Можно посмотреть: De Graaf. Lie algebras: theory and algorithms (стр. 67 и выше).

Alex-Yu в сообщении #1439150 писал(а):

и базиса, в котором выполняется условие $[h,x]=\alpha(h,x) x$, где $x$ - любой вектор базиса в $G$ (а вовсе не любой вектор $G$)?

Да, это уже обыная линейная алгебра (задан оператор, найти собственные подпространства).

[Alex-Yu]

Slav-27 в сообщении #1439166 писал(а):

Да, это уже обыная линейная алгебра (задан оператор, найти собственные подпространства).

Разве? Был бы один оператор -- да. А тут их много ($h$ могут быть разные).

[Slav-27]

Alex-Yu в сообщении #1439169 писал(а):

А тут их много

Да, но они коммутируют. То есть можно, например, найти собственные подпространства 1-го, все остальные отображают каждое из них в себя (поскольку операторы коммутируют), так что их можно дальше рассматривать по отдельности. На каждом из них 1-й оператор действует умножением на число, так что про него можно забыть, и мы свели задачу про $n$ операторов к нескольким задачам про $n-1$. Так можно дойти до одного оператора, а тут уже всё понятно.

-- 10.02.2020, 16:08 --

Как это поэффективние сделать с вычислительной точки зрения -- это отдельный вопрос, конечно.

[Alex-Yu]

Slav-27 в сообщении #1439176 писал(а):

Да, но они коммутируют.

Так уж сразу отнюдь не очевидно. А откуда это следует? Под подозрением тождество Якоби...

[vpb]

Alex-Yu в сообщении #1439179 писал(а):

Так уж сразу отнюдь не очевидно. А откуда это следует?

Что Вы имеете в виду "не очевидно" ? Элементы из подалгебры Картана коммутируют по опрделению. Или почему коммутирующие операторы обладают общим собственным базисом ?

Есть такой факт: если $A$ и $B$ --- два оператора, и $AB=BA$, то любое собственное подпространство для $A$

$$V_\lambda=\{ v\in V\mid Av=\lambda v\}$$

инвариантно относительно $B$. (Докажите сами, а то тут писать доказательство как-то неприлично (ибо полностью тривиально...)).

Кстати, при изучении квантОв Вы, несомненно, встречались с фразой "коммутирующие наблюдаемые обладают общим собственным базисом", вроде того. Это оно и есть. (Точнее, почти оно. Если задана любая совокупность операторов (не обязательно алгебра Ли) на конечномерном пространстве, над любым полем (комплексным, вещественным, или вообще конечным), и каждый из них диагонализируем, и если эти операторы попарно коммутируют, то всегда есть общий собственный базис. И осталось вспомнить, что любой самосопряженный оператор диагонализируем.)

-- 10.02.2020, 15:00 --

А то, что если $x$ и $y$ коммутируют в алгебре Ли, то $ad(x)$ и $ad(y)$ коммутируют как операторы --- действительно из тождества Якоби.

-- 10.02.2020, 15:03 --

И еще, есть книжка хорошая: Хамфрис (или Хамфри, по разному пишут), Введение в алгебры Ли и их представления.

[Alex-Yu]

vpb в сообщении #1439183 писал(а):

Что Вы имеете в виду "не очевидно" ? Элементы из подалгебры Картана коммутируют по опрделению.

Элементы картановской подалгебры $h$ -- это одно, а преобразования $x \to [h,x]$ -- это совсем другое. Так что что-то странное Вы написали. ИМХО.

-- Пн фев 10, 2020 22:39:51 --

vpb в сообщении #1439183 писал(а):

А то, что если $x$ и $y$ коммутируют в алгебре Ли, то $ad(x)$ и $ad(y)$ коммутируют как операторы --- действительно из тождества Якоби.

А-а-а-а... Я так и подозревал. Но пока мне не сказали (скорее даже лишь намекнули), что $ad(x)$ и $ad(y)$ коммутируют как операторы при $[x,y]=0$, мне это и в голову не приходило.

P.S. Я неоднократно замечал, что математики очень любят объяснять то, что и так понятно, но не любят объяснять то, что не понятно Хотя и "стоит" такое объяснение обычно всего лишь двух-трех слов. Но черта с два догадаешься, какие именно два-три слова тут нужны!

-- Пн фев 10, 2020 23:29:49 --

vpb в сообщении #1439183 писал(а):

если $x$ и $y$ коммутируют в алгебре Ли, то $ad(x)$ и $ad(y)$ коммутируют как операторы

Впрочем, да, это очевидно. $ad_h$ это же представление $h$.

[Walker_XXI]

Alex-Yu в сообщении #1439107 писал(а):

2) операторы $ad_h$ $(h \in H)$ диагональны в $G$.

Пункт 2) я понимаю так (а что, можно понять иначе???): $[h,x]=\alpha x$, где $h \in H$, $x \in G$, $\alpha$ -- число.

Как мне кажется, нужно иначе. А именно: $\alpha$ -- не число, а оператор с диагональной матрицей.