Найти число для школьников!

[daogiauvang]

Найти число, у которого есть 3 цифры причем :
$\frac{\overline{abc}}{c}=16\overline{bc}+25$
Где обозначает число $\overline{abc}$
простите меня ! Я вырезал мое сообщение.

[Бодигрим]

В таких случаях принято писать горизонтальною черту над цифрами, составляющими число: $\overline{abc}$.

Ну и традиционный для этого раздела вопрос: а как вы пытались решить эту задачу? Пытались ли вы вообще решать эту задачу?

[Amigo]

Не очень понятно условие задачи. Но если у Вас справа в сислителе abc есть единое число, а не произведение целых чисел(ведь тода непонятно зачем в знаменателе стоит также с), то решений нет.
$abc=100a+10b+c$
$100a+10b+c=16bc^2+25c$
$100a+10b=16bc^2+24c$
$50a+5b=8bc^2+12c$
$5(10a+b)=4c(2bc+3)$ (*)
докажем следующие утверждения:
1. НОД(5,10a+b)=1
2. НОД(4с,2bc+3)=1
3. C<>5
Док-во
1.из (*) видно, что b=2k, если бы при этом НОД(5,10a+b)<>1,
то b=5t, поскольку НОД(5,2)=1, то b=10q, ввиду того, что b<>0 (это просто доказать), то следовательно q>0 и минимум равно 1. Но тогда
b минимум равно 10. Чего быть не может, поскольку b - одноразрядное число.
2.Так как НОД(4с,2bca+3)=НОД(с,2bc+3), то возможны два случая:
а)с=1
б)с=3
предположим, что имеет место случай а), тогда:
$5(10a+b)=4(2b+3)$
$50a+5b=8b+12$
$50a=3b+12$
$25a=3k+6$, причём k одно из {1,2,3,4}.
Ясно, что при таких значениях k, равенство никогда не достигается.
случай б), имеем:
$5(10a+b)=12(6b+3)$
$50a+5b=72b+36$
$50a=67b+36$
$25a=67k+18$ причём k также одно из {1,2,3,4}.
Подставив последовательно различные значения для k - убеждаемся,
что ни одно из них не делится на 25.
3. Пусть с=5, тогда:
$5(10a+b)=20(10b+3)$
$10a+b=4(10b+3)$
$10a=39b+3$ поскольку, b=2k, то 2 делит 3, что невозможно. Ч.Т.Д.

Теперь, ввиду того, что НОД(4с,2bc+3)= НОД(5,10a+b)=1и C<>5 и того факта, что 5 число простое, будем иметь:
$5=2bc+3$
$2=2bc$
$1=bc$ , что может быть, лишь если с=1. Но в этом случае приходим
в противоречие с подпунктом а) пункта 2. ч.т.д.

[Бодигрим]

Amigo в сообщении #143832 писал(а):

Не очень понятно условие задачи.

Кстати, мне вот тоже неясно: $bc$ - это $bc$ или $\overline{bc}$? Впрочем, во втором случае решений вроде бы нет.

Amigo в сообщении #143832 писал(а):

Но если у Вас справа в сислителе abc есть единое число, а не произведение целых чисел(ведь тода непонятно зачем в знаменателе стоит также с), то решений нет.

925. Вы ошиблись в арифметике, доказывая, что $c\ne5$.

[Amigo]

Бодигрим писал(а):

925. Вы ошиблись в арифметике, доказывая, что $c\ne5$.

Вы правы, косячёк вышел.