ab+1 и ab^3+1 - полные квадраты

[rightways]

Найдите натуральные $a,b$ для которых числа $ab+1$ и $ab^3+1$ - полные квадраты.

[nnosipov]

rightways в сообщении #1438122 писал(а):

Найдите натуральные $a,b$ для которых числа $ab+1$ и $ab^3+1$ - полные квадраты.

Очевидно, только $(a,b)=(n^2-1,1)$, где $n>1$ --- целое число.

[rightways]

А можно по спуску Виета доказать? Вроде некие свойства уравнения Пелля можно под Виету закрутить.

-- 04.02.2020, 00:04 --

А можно по спуску Виета доказать? Вроде некие свойства уравнения Пелля можно под Виету закрутить.

[Shadow]

rightways в сообщении #1438149 писал(а):

А можно по спуску Виета доказать? Вроде некие свойства уравнения Пелля можно под Виету закрутить.

А зачем, если их перемножить и умножить на 4, получится

$4a^2b^4+4ab^3+4ab+4$ которое должно быть квадратом. Но

$(2ab^2+b-1)^2<4a^2b^4+4ab^3+4ab+4\le (2ab^2+b+1)^2$

Причем правое равенство достигается только при $b=1$

Остальное мелочи.