Сходимость двойных рядов ортонормированных систем функций

[Pumpov]

Добрый день.

Возник вопрос, как доказать сходимость двойного ряда выбранной ортонормированной системы функций? Конкретных теорем, по которым сразу можно было бы произвести доказательство, я не нашел.
Каждая функция представляет из себя линейную комбинацию функции Бесселя и модифицированной функции Бесселя от первого аргумента, умноженную на синус или косинус от второго аргумента. Это моды собственных колебаний тонкого диска.
Задача возникла из теории упругости. Вообще, для решения используются обычно разложения прогиба в ряд по некоторым функциям, но доказательство сходимости обычно не приводят.

-- 31.01.2020, 16:39 --

Если известно, что данная система функций является полной, то в этом случае можно утверждать, что она является и замкнутой?

[Brukvalub]

Pumpov в сообщении #1437705 писал(а):

Возник вопрос, как доказать сходимость двойного ряда выбранной ортонормированной системы функций?

О какой сходимости идет речь? О сходимости по метрике, порожденной скалярным произведением, о поточечной сходимости, о равномерной или еще о какой-нибудь?

Pumpov в сообщении #1437705 писал(а):

Если известно, что данная система функций является полной, то в этом случае можно утверждать, что она является и замкнутой?

Вот в обратную сторону утверждение всегда верно. А из полноты замкнутость следует не всегда. Но, например, в пространстве квадратично интегрируемых по Лебегу по многомерной области функций со скалярным произведением - интегралом от произведения таких функций - полнота и замкнутость эквивалентны.

[ozheredov]

Pumpov

Почитайте книжки про вейвлеты

[svv]

Brukvalub в сообщении #1437769 писал(а):

Pumpov в сообщении #1437705 писал(а):

Если известно, что данная система функций является полной, то в этом случае можно утверждать, что она является и замкнутой?

Вот в обратную сторону утверждение всегда верно. А из полноты замкнутость следует не всегда.

Существуют книги, в которых определения полноты и замкнутости системы функций даются «наоборот». Я говорю о книге
Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике. Издательство МГУ, 1993.


Будьте осторожны!

[g______d]

В любом гильбертовом пространстве два указанных свойства совпадают. Ну только было бы аккуратнее писать $N=N(f,\varepsilon)$ (что очевидно предполагается из контекста).

В связи с чем я не очень понимаю исходный вопрос (какая именно сходимость рассматривается и какие именно определения полноты и замкнутости используются).

[Brukvalub]

svv в сообщении #1437820 писал(а):

Существуют книги, в которых определения полноты и замкнутости системы функций даются «наоборот». Я говорю о книге
Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике. Издательство МГУ, 1993.

Вы правы! Издавна в разных математических школах понятиям "замкнутость" и "полнота" ортогональной системы придают разные смыслы. Читая лекции, я придерживаюсь той терминологии, которая, как мне кажется, легче запоминается студентами: система замкнута, если замыкание ее линейной оболочки совпадает со всем пространством, система полна, если ее нельзя дополнить каким-либо ненулевым вектором. Но, например, Зорич в своем учебнике и некоторые мои коллеги на мехмате МГУ используют инверсную терминологию.

g______d в сообщении #1437844 писал(а):

В любом гильбертовом пространстве два указанных свойства совпадают. Ну только было бы аккуратнее писать $N=N(f,\varepsilon)$ (что очевидно предполагается из контекста).

В связи с чем я не очень понимаю исходный вопрос (какая именно сходимость рассматривается и какие именно определения полноты и замкнутости используются).

В главе 8 второго тома учебника В.А. Зорича "Математический анализ" есть пример, иллюстрирующий неравносильность в общем случае понятий "замкнутость" и "полнота" ( необходимо учитывать те особенности терминологии, о которых я писал выше в этом своем посте).

[g______d]

Brukvalub в сообщении #1437891 писал(а):

В главе 8 второго тома учебника В.А. Зорича "Математический анализ" есть пример, иллюстрирующий неравносильность в общем случае понятий "замкнутость" и "полнота" ( необходимо учитывать те особенности терминологии, о которых я писал выше в этом своем посте).

Это был комментарий к первому или второму моему абзацу? Если к первому, то у Зорича (видимо, в главе 18) пример основывается на том, что пространство не гильбертово и не противоречит тому, что я сказал. А если по второму, то мне не стало понятнее, чего именно хочет ТС.

[Pumpov]

Brukvalub в сообщении #1437769 писал(а):

О какой сходимости идет речь? О сходимости по метрике, порожденной скалярным произведением, о поточечной сходимости, о равномерной или еще о какой-нибудь?

О поточечной, во всех точках области определения (круг). Ну а вообще смысл в том, что функцию можно представить в виде разложения Фурье, и при увеличении числа элементов суммы можно добиться аппроксимации с любой точностью, т.е. речь о замкнутости.

Brukvalub в сообщении #1437769 писал(а):

А из полноты замкнутость следует не всегда. Но, например, в пространстве квадратично интегрируемых по Лебегу по многомерной области функций со скалярным произведением - интегралом от произведения таких функций - полнота и замкнутость эквивалентны.

А как эта теорема называется точно?
Интересно ещё, как полноту данной системы функций можно доказать.

[Brukvalub]

Pumpov в сообщении #1438102 писал(а):

О поточечной, во всех точках области определения (круг). Ну а вообще смысл в том, что функцию можно представить в виде разложения Фурье, и при увеличении числа элементов суммы можно добиться аппроксимации с любой точностью, т.е. речь о замкнутости.

Похоже, что Вы путаете поточечную сходимость и сходимость в интегральной метрике.

Pumpov в сообщении #1438102 писал(а):

Интересно ещё, как полноту данной системы функций можно доказать.

Например, обычно полноту классической триг. системы получают из всюду плотности ее линейной оболочки в соответствующем пространстве, которая следует из несложных теорем о приближении в интегральной метрике каждой функции пространства непрерывной функцией и т. Фейера.
Все это написано в любом достаточно подробном учебнике математического анализа.