Задача на центральную проекцию

[aush]

Взяли две плоскости, разместили как-то в пространстве, нарисовали на одной из них четыре точки, сделали какую-то их центральную проекцию на другую плоскость. Известны двухмерные координаты точек на плоскостях.

Как определить угол между плоскостями в пронстранстве?

[worm2]

Думается, что задача в такой постановке не имеет решения.
Если выбрать в качестве центра проекции точку на "другой" плоскости, то центральная проекция всех четырёх точек будет одна и та же. И как по этим даным восстановить угол?
Ещё один, кажется, пример: для двух одинаковых квадратов ("одинаково расположенных" на плоскостях) существует точка (их центр тяжести), которая переводит один квадрат в другой (если её рассматривать как центр проекции). Как по этим данным определить угол - непонятно.

[Zai]

Задача поставлена некорректно. Рассмотрим частный случай центральной проекции - параллельную проекцию. Свойство параллельной проекции оставлять размеры фигуры в направлении, параллельном линии пересечения плоскостей и увеличивать/уменьшать в перпендикулярном направлении. Увеличение линейное и зависит от угла между поверхностями и углом между нормалью плоскости проекции и направлением проекции. Разделить эти углы невозможно используя только двумерные координаты фигуры.

[aush]

То есть, если у нас есть два четырехугольника и известно, что один является центральной проекцией другого, то угол между плоскостями, в которых они распологаются, может быть любым. Иначе говоря, для любых двух плоскостей как-то расположенных в пространстве и любых двух фигур в них расположенных существует центр проекции, который переводит одну фигуру в другую?

[TOTAL]

aush писал(а):

То есть, если у нас есть два четырехугольника и известно, что один является центральной проекцией другого, то угол между плоскостями, в которых они распологаются, может быть любым. Иначе говоря, для любых двух плоскостей как-то расположенных в пространстве и любых двух фигур в них расположенных существует центр проекции, который переводит одну фигуру в другую?

Для любых не существует.
В предыдущем сообщении некорректность задачи не продемонстрирована.

[aush]

Дело вот в чем, я написал программу, которая решает эту задачу. Выглядит это так: для удобства располагаем один четырехугольник в плоскости XY(центр пересечения его диагоналей 0). Какую-то точку (0,0,z) называем центром проекции и строим пирамиду с вершиной в центре проекции и основанием - первый четырехугольник. Дальше второй четырехугольник кидаем на эту пирамиду. Очевидно он может занять на ней единственное положение. Отсюда и находим угол.

Поэтому и появилась мысль, что эта задача должна иметь аналитическое решение

[ИСН]

Ваша программа использует дополнительное условие, не озвученное в формулировке задачи. При этом условии - решение, кажется, есть.

[TOTAL]

aush писал(а):

Дело вот в чем, я написал программу, которая решает эту задачу. Выглядит это так: для удобства располагаем один четырехугольник в плоскости XY(центр пересечения его диагоналей 0). Какую-то точку (0,0,z) называем центром проекции и строим пирамиду с вершиной в центре проекции и основанием - первый четырехугольник. Дальше второй четырехугольник кидаем на эту пирамиду. Очевидно он может занять на ней единственное положение. Отсюда и находим угол.

Для единственности надо показать, что движением одного их 4-угольников по своей плоскости и изменением угла между плоскостями нельзя добиться того, чтобы 4-угольники снова оказались соединены центральной проекцией (другой).

[aush]

ИСН
Озвучте, пожалуйста, это дополнительное условие - я его не улавливаю)

[ИСН]

Да вот же оно:

aush писал(а):

(центр пересечения его диагоналей 0). Какую-то точку (0,0,z) называем центром проекции

а центр-то мог быть где угодно.

[aush]

ИСН
Да, и в правду, в первом сообщении я не учел это условие - оно действительно имеет место.

Добавлено спустя 1 минуту 49 секунд:

TOTAL
С дополнительным условием о том, что центр проекции ортогонально проецируется в центр пересечения диагоналей первого четырехугольника, требуется обоснование единственности?

[TOTAL]

aush писал(а):

TOTAL
С дополнительным условием о том, что центр проекции ортогонально проецируется в центр пересечения диагоналей первого четырехугольника, требуется обоснование единственности?

Не понимаю дополнительного условия.
Пока что я представляю себе две плоскости, на каждой нарисовано по 4-угольнику. Известно, что существует положение плоскостей, для которого 4-угольники соединены центральной проекцией (4 линии, проходящие через соответствующие вершины, пересекаются в одной точке). Вопрос: существуют ли другие положения плоскостей, для которых 4-угольники тоже соединены центральной проекцией?

[aush]

TOTAL
Дополнительное условие(кстати, оно даже еще более строгое) - центр проекции фиксирован относительно первого четырехугольника. Т.е. если мы нашли такое положение плоскостей в котором четырехугольники соеденины центральной проекцией, то можно ли только движением второй плоскости найти такое положение, в котором центральная проекция все еще будет иметь место? Мне кажется, что очевидно нет. Поэтому и единственность. Я прав?

[TOTAL]

aush писал(а):

TOTAL
Дополнительное условие(кстати, оно даже еще более строгое) - центр проекции фиксирован относительно первого четырехугольника. Т.е. если мы нашли такое положение плоскостей в котором четырехугольники соеденины центральной проекцией, то можно ли только движением второй плоскости найти такое положение, в котором центральная проекция все еще будет иметь место? Мне кажется, что очевидно нет. Поэтому и единственность. Я прав?

Не будет единственности. Представьте себе правильную пирамиду, в основании квадрат. Понятно, что можно четырьмя способами пересечь эту пирамиду плоскостью, чтобы в сечении получился однаковый 4-угольник. Правда, все четыре сечения будут под одинаковым углом к основанию, т.е. в некотором смысле единственность имеет место. Однако такую единственность легко устранить, наклонив квадратное основание (не меняя боковые грани, так что основание перестанет быть квадратным!).

[aush]

TOTAL писал(а):

Правда, все четыре сечения будут под одинаковым углом к основанию, т.е. в некотором смысле единственность имеет место.

Меня интересует только угол, поэтому о такой единственности и идет речь

TOTAL писал(а):

Однако такую единственность легко устранить, наклонив квадратное основание (не меняя боковые грани, так что основание перестанет быть квадратным!).

Не понял... Если наклонить, то очевидно, что не получится пересечь так, чтобы получились одинаковые фигуры при разных углах наклона секущей плоскости