несобственные интегралы + условный экстремум

[tanton]

Помогите пожалуйста разобраться, как правильно применять разложение в ряд тейлора, при определение сходимости несобственных интегралов

к примеру вот таких:
\int\limits_{0}^{1}{\frac {xdx}{x - \sin(x)}}
\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{\frac {\sin(x)}{x - \sin(x)}}dx }
\int\limits_{1}^{5}{\frac {dx}{x^5 + \sqrt{x} - 2}}

как я понимаю при разложение мы заменяем нужную нам функцию на такую, которая ведет себя похоже в особенной точке и с которой легче проводить какие-либо преобразования. Однако если мы возъмем мало членов(1,2), то функция совсем не будет вести себя эквивалентно разлагаемой функции. Например это будет просто прямая или касательная. Таким образом возникают несколько вопросов - до какого члена и какую функцию нужно раскладывать? И всегда ли мы можем воспользоваться разложением в ряд при определение сходимости несоб. интегралов?

и еще хотел спросить о условном экстремуме
задача такая:
Исследовать на условный экстремум функцию z=2xy, при условии x^2 + y^2 = 1

после составления функции лагранжа и решения системы уравнений получилось(делал по аналогии с задачей из демидовича):
$\lambda_1=1 y_1=- \frac {1}{\sqrt{2}}x_1=\frac {1}{\sqrt{2}}
$\lambda_2=1 y_2=\frac {1}{\sqrt{2}}x_2=- \frac {1}{\sqrt{2}}
$\lambda_3=-1 y_3=- \frac {1}{\sqrt{2}}x_3=- \frac {1}{\sqrt{2}}
$\lambda_4=-1 y_4= \frac {1}{\sqrt{2}}x_4=\frac {1}{\sqrt{2}}

$\frac {d^2F}{dx^2} = 2\lambda $\frac {d^2F}{dxdy} = 2 $\frac {d^2F}{dy^2} = 2\lambda

d^2F = 2\lamda(dx^2 + dy^2) + 4dxdy

и здесь я немогу понять, как мы можем складывать и умножать дифференциалы?
как можно определить знак в этом выражение?

Спасибо.

[ddn]

tanton писал(а):

как я понимаю при разложение мы заменяем нужную нам функцию на такую, которая ведет себя похоже в особенной точке и с которой легче проводить какие-либо преобразования. Однако если мы возьмем мало членов(1,2), то функция совсем не будет вести себя эквивалентно разлагаемой функции.

До первого значащего члена. Для сходимости не важно эквивалентное поведение функции, это важно для точной величины интеграла.

tanton писал(а):

Помогите пожалуйста разобраться, как правильно применять разложение в ряд тейлора, при определение сходимости несобственных интегралов
к примеру вот таких:
$\int\limits_{0}^{1}{\frac {xdx}{x - \sin(x)}}$
$\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{\frac {\sin(x)}{x - \sin(x)}}dx }$
$\int\limits_{1}^{5}{\frac {dx}{x^5 + \sqrt{x} - 2}}$

Разложите для удобства обратные подинтегральные величины в точке особенности $x=0$:
$\frac{x-\sin(x)}{x}\sim\frac{x-(x-\frac{x^3}{6})}{x}=\frac{x^2}{6}$
$\frac{x-\sin(x)}{\sin(x)}=\frac{x}{\sin(x)}-1\sim\frac{x}{x-\frac{x^3}{6}}-1\sim\frac{x^2}{6}$
и в точке особенности $x=1$:
$x^5+\sqrt{x}-2=(x-1)^5+5(x-1)^4+10(x-1)^3+10(x-1)^2+5(x-1)+$
$+(\sqrt{1+(x-1)}-1)\sim(5+\frac{1}{2})(x-1)=\frac{11}{2}(x-1)$.
Как видно, все интегралы расходятся из-за особенностей $\int\limits_0\frac{dx}{x^2}$, $\int\limits_0\frac{dx}{x}$ и $\int\limits_1\frac{dx}{x-1}$.

[tanton]

Спасибо! А по поводу экстремума можете что-нибудь подсказать?

[Brukvalub]

tanton в сообщении #143756 писал(а):

Спасибо! А по поводу экстремума можете что-нибудь подсказать?

Я могу подсказать. Выучите критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичных форм.

[ewert]

tanton писал(а):

Таким образом возникают несколько вопросов - до какого члена и какую функцию нужно раскладывать? И всегда ли мы можем воспользоваться разложением в ряд при определение сходимости несоб. интегралов?

Начнём с того, что речь не о ряде, а о формуле Тейлора. В чём разница (формально они выглядят одинаково)? Ряд -- это сумма бесконечного количества слагаемых, которая в точности равна раскладываемой функции. В случае же формулы акцент ставится на другом: берётся несколько первых слагаемых и утверждается, что поправка (т.е. разность между ними и исходной функцией) много меньше каждого из слагаемых при стремлении к нулю сдвига относительно стартовой точки.

И вот тут как раз и принципиально -- аккуратно отследить влияние поправочного члена. Т.е. надо выписывать не только начальные члены формулы Тейлора, но и поправку. Если после всех упрощений главным членом окажется поправочный, то это будет означать, что глубина разложения была недостаточной и к-во слагаемых следует увеличить.

Пример: почему при оценке $x-\sin x$ следует брать именно два члена разложения синуса? Очень просто:

$x-\sin x = x-\left(x-{x^3\over6}+O(x^5)\right) = {x^3\over6}+O(x^5).$

Главным является явное (первое) слагаемое, и все счастливы. А вот если бы мы ограничились лишь одним членом разложения, то после сокращения осталось бы только $O(x^3)$, которое содержит недостаточно информации для получения определённого результата.

И ещё чисто техническое замечание. Если особая точка $x_0$ -- не ноль, то следует делать замену $t\equiv x-x_0$ и раскладывать уже по степеням $t$. Просто потому, что раскладывать в окрестности нуля удобнее.

tanton писал(а):

d^2F = 2\lamda(dx^2 + dy^2) + 4dxdy

и здесь я немогу понять, как мы можем складывать и умножать дифференциалы?
как можно определить знак в этом выражение?

Это не сложение и умножение первых дифференциалов, а формальная запись второго дифференциала. Которая определяется матрицей, составленной из всех возможных вторых производных. Если матрица строго положительна (в точке, подозрительной на экстремум), то мы имеем дело с минимумом, если строго отрицательна -- то с максимумом. В свою очередь, положительность матрицы равносильна положительности всех её собственных чисел.

Критерий Сильвестра -- штука да, весьма полезная, но в случае двух переменных выглядит издевательством. Поскольку для матрицы два на два собственные числа определяются простеньким квадратным уравнением. И попросту по теореме Виета матрица будет знакоопределённой, если её определитель строго положителен. А тип экстремума определяется знаком суммы диагональных элементов (т.е. чистых вторых производных): если это "плюс", то точка является минимумом. (Фактически достаточно проверить знак только одной из этих производных -- другой будет таким же.)

[Brukvalub]

ewert в сообщении #143920 писал(а):

Критерий Сильвестра -- штука да, весьма полезная, но в случае двух переменных выглядит издевательством. Поскольку для матрицы два на два собственные числа определяются простеньким квадратным уравнением. И попросту по теореме Виета матрица будет знакоопределённой, если её определитель строго положителен. А тип экстремума определяется знаком суммы диагональных элементов (т.е. чистых вторых производных): если это "плюс", то точка является минимумом. (Фактически достаточно проверить знак только одной из этих производных -- другой будет таким же.)

Задание для ewert:
Выучить критерий Сильвестра, после чего проверить, что фразы

ewert в сообщении #143920 писал(а):

матрица будет знакоопределённой, если её определитель строго положителен.

ewert в сообщении #143920 писал(а):

А тип экстремума определяется знаком суммы диагональных элементов (т.е. чистых вторых производных): если это "плюс", то точка является минимумом. (Фактически достаточно проверить знак только одной из этих производных -- другой будет таким же.)

являются точной формулировкой критерия Сильвестра для размерности 2.

[ewert]

Задание для Brukvalub:
выучить, чему равно число 2, и прекратить стрелять из пушек по воробьям.

А если очень уж хоцца, то непременно следует задействовать также критерии Михайлова и Рауса-Гурвица.

[Brukvalub]

ewert в сообщении #143948 писал(а):

Задание для Brukvalub:
выучить, чему равно число 2

Срочно прошу помощи! Перерыл все справочники, но так и не нашел, чему равно число 2, а выучить хочется. Прошу подсказать ответ на этот непростой для меня вопрос!