"вычислить единицу для уравнения" — что это означает?

[yatupoinebeite]

Здравствуйте. Сейчас в биографической статье про математика Георгия Вороного я наткнулся на следующую цитату за авторством академика Д.О.Граве:
«Марков (профессор -прим.) телеграфом пригласил Вороного из Варшавы в Петербург. Посадив его в своём кабинете, Марков предложил Вороному вычислить единицу для уравнения r^3 = 23. Вороной работал три часа: период состоял из 21 члена. Чтобы получить основную единицу, пришлось перемножить 21 число... И наконец, было доказано, что алгоритм действительно есть».

Я в математике - ноль с минусом. Помогите мне, пожалуйста, разобраться, что означает эта фраза или хотя бы укажите, где найти источник информации, разъясняющий суть выделенного контекста?
Спасибо.

[Sonic86]

Единица - синоним (устаревший?) для обратимых по умножению элементов кольца. Например, в кольце целых чисел $\mathbb{Z}$ обратимые элементы - $\{-1;1\}$, а в $\mathbb{Z}[i]$ с $i^2=-1$ - обратимые элементы - $\{-1;1; i; -i\}$. В случае числового поля $\mathbb{Q}(\alpha)$, где $\alpha$ - корень многочлена $P(x)=0$ группа обратимых элементов устроена сложно, ее описывает теорема Дирихле (см. статью в Вики https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0 ... 0%B0%D1%85). Группа конечно порождена, чаще всего не конечна. Для поля $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ ранг группы единиц равен $1+1-1=1$, поскольку уравнение $x^3=2$ имеет 1 действительный корень и 2 мнимых. Т.е. группа единиц разлагается в группу кручения и одну группу вида $\langle \varepsilon^k, k\in\mathbb{Z}\rangle$, порожденную одной основной единицей $\varepsilon$.
Видимо ее он и искал.
(что он на самом деле искал - я без понятия, но понять этот текст я могу только так)

[Gagarin1968]

Может быть, речь идёт об алгоритме цепных дробей, который даёт обратимые элементы?

[nnosipov]

yatupoinebeite в сообщении #1436994 писал(а):

что означает эта фраза или хотя бы укажите, где найти источник информации, разъясняющий суть выделенного контекста?

Смысл фразы уже разъяснен выше, а детали можно узнать из книги: Делоне Б.Н., Фаддеев Д.К. Теория иррациональностей третьей степени~// Труды Мат. ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР. 1940. Т.~11 (глава IV "Алгорифм Вороного"). Впрочем, без предварительной подготовки читать эту книгу бесполезно.

В таблице на стр. 231 (рекомендую заглянуть) можно найти ту самую единицу, которую вычислил Вороной по просьбе Маркова: это

$$2166673601+761875860\alpha+267901370\alpha^2,$$

где $\alpha=\sqrt[3]{23}$. Для сравнения: в случае уравнения $x^3=2$ единица равна $1+\alpha+\alpha^2$, где $\alpha=\sqrt[3]{2}$.