Нарушение дискретной симметрии

[DismasK]

Задача из 1 части книги Рубакова "Классические калибровочные поля. Бозонные теории."

Рассмотрим теорию двух действительных скалярных полей $\varphi_1, \; \varphi_2$ с лагранжианом:

$$\mathcal{L}=\frac{1}{2} (\partial \varphi_1)^2 + \frac{1}{2} (\partial \varphi_2)^2 -\frac{m_{11}^2}{2}\varphi_1^2 - {m_{12}^2}\varphi_1\varphi_2-\frac{m_{22}^2}{2}\varphi_2^2 - \frac{\lambda_{11}}{4}\varphi_1^4 - \frac{\lambda_{12}}{2}\varphi_1^2\varphi_2^2 - \frac{\lambda_{22}}{4}\varphi_2^4$$

.

Отметим, что массовый член в этом лагранжиане можно записать в матричной форме

$$\varphi^T M \varphi$$

,
где

$$M=\begin{pmatrix} m_{11}^2 m_{12}^2 \\ m_{12}^2 m_{22}^2 \end{pmatrix}$$

(матрицу Μ называют матрицей квадратов масс, или массовой матрицей).
Лагранжиан инвариантен относительно дискретной симметрии $(\varphi_1 \to -\varphi_1, \; \varphi_2 \to -\varphi_2)$

1) Какие ограничения на $m^2_{ij}; \lambda_{ij}$ накладывает требование ограниченности снизу
классической энергии?
2) Найти множество значений $m_{11}^2, \; m_{12}^2, \; m_{22}^2$, при которых дискретная симметрия
не нарушается спонтанно.
3) В случае ненарушенной симметрии найти спектр малых возмущений относительно
основного состояния.

Проблемным оказывается второй пункт задачи. Есть тривиальный вариант, когда квадратичная форма с массами положительно определена, тогда вакуум будет в нуле, и симметрия не нарушается, но есть и другое решение, нетривиальное. Проблема в том, чтобы его найти.
Я пробовал решить задачу по поиску минимума функции двух переменных, получил систему кубических уравнений:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \partial \varphi_1=m_{11}^2\varphi_1+m_{12}^2\varphi_2+\lambda_{11}\varphi_1^3+\lambda_{12}\varphi_2^2\varphi_1=0 \\ \partial\varphi_2=m_{22}^2\varphi_2+m_{12}^2\varphi_1+\lambda_{22}\varphi_2^3+\lambda_{12}\varphi_2\varphi_1^2=0 \\ \end{array} \right.$$

Т.к. лагранжиан инвариантен относительно вращений, то экстремумы потенциала будет при определенных значениях $\varphi_1 и \varphi_2$. Эти значения формируют эллипс. Решая эту систему для $\varphi_2=0$ получаю:

$$\varphi_1=\pm\sqrt\frac{-m^2_{11}}{\lambda_{11}},$$

Значит для экстремумов потенциала $\varphi$ изменяется в диапазоне:

$$\varphi_1\in\left[-\sqrt\frac{-m^2_{11}}{\lambda_{11}}; \sqrt\frac{-m^2_{11}}{\lambda_{11}}\right],\;\varphi_2\in\left[-\sqrt\frac{-m^2_{22}}{\lambda_{22}}; \sqrt\frac{-m^2_{22}}{\lambda_{22}}\right]$$

.
Рассмотрим вторые производные:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \partial^2 \varphi_{1,1}=m_{11}^2+3\lambda_{11}\varphi_1^2+\lambda_{12}\varphi_2^2 =A\\ \partial\varphi^2_{2,2}=m_{22}^2+3\lambda_{22}\varphi_2^2+\lambda_{12}\varphi_1^2 =B\\ \partial\varphi^2_{1,2}=m_{12}^2+2\lambda_{12}\varphi_1\varphi_2 =C\\ \end{array} \right.$$

Известно, что условия экстремума функции двух переменных: $AB-C^2>0$, для минимума $A>0$, для максимума $A<0$. Можно было бы попробовать подобрать массы так, чтобы только в одной точке был минимум. Но т.к. потенциал симметричен, то таких точек останется всегда две.
Я думал, может, можно как-то наклонить потенциал, чтобы один из минимумов стал ниже по энергии. Тогда вакуум будет один и симметрия не нарушится. Но как это сделать, я не знаю.

[Munin]

DismasK в сообщении #1436219 писал(а):

Я думал, может, можно как-то наклонить потенциал, чтобы один из минимумов стал ниже по энергии. Тогда вакуум будет один и симметрия не нарушится. Но как это сделать, я не знаю.

Это делается добавлением членов нечётной степени по $\varphi.$ Начиная от линейных. Но они в вашем лагранжиане отсутствуют, то есть, так сделать нельзя.

Эта мысль - на уровне ряда Тейлора за 1 курс.

-- 21.01.2020 17:47:01 --

DismasK в сообщении #1436219 писал(а):

Задача из 1 части книги Рубакова "Классические калибровочные поля. Бозонные теории."
...
Проблемным оказывается второй пункт задачи. Есть тривиальный вариант, когда квадратичная форма с массами положительно определена, тогда вакуум будет в нуле, и симметрия не нарушается, но есть и другое решение, нетривиальное. Проблема в том, чтобы его найти.

Уточните номер задачи. Откуда информация, что есть другое решение? Так прямо у Рубакова написано, или так вам преподаватель сказал?

[DismasK]

Munin в сообщении #1436236 писал(а):

Уточните номер задачи. Откуда информация, что есть другое решение? Так прямо у Рубакова написано, или так вам преподаватель сказал?

Рубаков В. А. Классические калибровочные поля. М.: URSS, 1999. Дополнительные задачи к части 1. Задача 1. Смешивание полей.

У Рубакова так не написано. Преподаватель сказал искать другое решение, кроме нулевого вакуума.

[Munin]

DismasK в сообщении #1436242 писал(а):

У Рубакова так не написано. Преподаватель сказал искать другое решение, кроме нулевого вакуума.

Это странно. В принципе, там есть минимумы в виде кольца. Но это плохо отвечает формулировке "дискретная симметрия не нарушается спонтанно": симметрия всё равно нарушается спонтанно, просто изначально она была сильнее дискретной.

Мне приходила в голову интерпретация, что форма $m^2$ может быть вырожденной, и тогда вакуум в нуле обеспечивается формой $\lambda.$

Но если вакуум не в нуле, он всегда будет иметь указанную дискретную симметрию.

-- 21.01.2020 18:22:58 --

Небольшое замечание по языку.

DismasK в сообщении #1436219 писал(а):

Лагранжиан инвариантен относительно дискретной симметрии $(\varphi_1 \to -\varphi_1, \; \varphi_2 \to -\varphi_2)$

DismasK в сообщении #1436219 писал(а):

Т.к. лагранжиан инвариантен относительно вращений

Сравните две эти фразы. Они немного друг другу противоречат. На самом деле, относительно вращений лагранжиан не инвариантен, а форм-инвариантен: он будет задаваться такой же формулой, но конкретные значения коэффициентов будут другие.

-- 21.01.2020 18:33:16 --

DismasK в сообщении #1436219 писал(а):

экстремумы потенциала будет при определенных значениях $\varphi_1 и \varphi_2$. Эти значения формируют эллипс.

Ну и конечно, тут не эллипс, а пересечение двух линий 3-го порядка. Но эта линия рассуждений ни на что не влияет.