Найти функцию распределения

[qwerere3]

Если генерировать по n случайных действительных чисел с равномерным распределением от 0 до 1, пока среднее арифметическое одного из наборов из n чисел не окажется настолько близко к m что отличием можно пренебречь, какая функция будет описывать распределение набора со средним m, если n стремится к бесконечности?

Кажется эта функция для среднего 0.75 имеет такой график:

[Otta]

qwerere3
Можно по осям значения расставить?
Имелась в виду действительно функция распределения?
Пренебречь отличием случайной величины от константы можно в котором смысле?

-- 19.01.2020, 01:18 --

qwerere3 в сообщении #1435878 писал(а):

пока среднее арифметическое одного из наборов из n чисел не окажется настолько близко к m что отличием можно пренебречь, какая функция будет описывать распределение набора со средним m, если n стремится к бесконечности?

Вне зависимости от желаемого, почитайте-ка Вы закон больших чисел. Пригодится.

[alisa-lebovski]

Я думаю, имеется в виду следующая задача: пусть $X_1,\dots X_n$ - независимые случайные величины с равномерным распределением на $[0,1]$. Найти предел

$$\lim_{n\to\infty}{\bf P}(X_1\le x|X_1+\dots X_n=mn),$$

где $x\in [0,1]$, $0<m<1$.

[--mS--]

Ну как бы не хорошо иметь в условии событие нулевой вероятности...

[mihaild]

--mS-- в сообщении #1436094 писал(а):

Ну как бы не хорошо иметь в условии событие нулевой вероятности...

Почему? Понятно что получится функция определенная с точностью до множества нулевой меры, но предел от таких всё равно можно брать.

[--mS--]

А, т.е. речь об условной ф.р. $F_{X_1\mid \overline X}(x|m)$? В таком случае совсем не похоже на то, о чём спрашивает ТС. Поскольку у меня получается, что условная ф.р.

$$ F_{X_1\mid \overline X}(x|m) = \dfrac{\min(nm,x)-\max(0,nm-1)}{\min(nm,1)-\max(0,nm-1)}\,\cdot\, I(\max(0,nm-1)\leq x\leq \min(nm,1)) $$

(ну и $0/1$ по краям). Как ни крути, это равномерное распределение.

[mihaild]

А про что спрашивает ТС, и какое отношение к этому имеет предложенное условное распределение, я тоже не понимаю.
Я бы предположил, что что-то подобное спрашивают. Для фиксированных $n$ и $m$ у нас есть условное распределение $n$-мерного вектора. Из него делаем одномерное распределение на прямой: вероятность множества есть ожидание числа попавших в это множество компонет вектора, деленное на $n$. Теперь для фиксированного $m$ устремляем $n$ к бесконечности и смотрим на предел распределений.
Зачем это может быть кому-то нужно - не представляю, и простых способов посчитать за пять минут не придумал.

[alisa-lebovski]

--mS-- в сообщении #1436101 писал(а):

А, т.е. речь об условной ф.р. $F_{X_1\mid \overline X}(x|m)$? В таком случае совсем не похоже на то, о чём спрашивает ТС. Поскольку у меня получается, что условная ф.р.

$$ F_{X_1\mid \overline X}(x|m) = \dfrac{\min(nm,x)-\max(0,nm-1)}{\min(nm,1)-\max(0,nm-1)}\,\cdot\, I(\max(0,nm-1)\leq x\leq \min(nm,1)) $$

(ну и $0/1$ по краям). Как ни крути, это равномерное распределение.

Что-то не то у Вас, при $nm>2$ неравенство в индикаторе становится несовместным.

[--mS--]

alisa-lebovski в сообщении #1436172 писал(а):

Что-то не то у Вас, при $nm>2$ неравенство в индикаторе становится несовместным.

Ну естественно, я с какого-то перепуга плотность суммы $n-1$ равномерной вместо Irwin-Hall вообще взяла равномерной на $[0,1]$... Сейчас попробую переделать, если будет не лень.

[--mS--]

Н-да, превратить это в сколь-нибудь удобочитаемое выражение не удаётся. Условная плотность $X_1$ при $\overline X$ есть

$$ f_{X_1\mid \overline X}(x\mid m) =(n-1)\, \cdot \, \frac{\sum\limits_{k=0}^{n-1}(-1)^k C_{n-1}^k (nm-x-k)^{n-2}_+}{\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k C_n^k (nm-k)^{n-1}_+}\,\cdot\, I\left(0<x<1, \frac{x}{n}<m<1\right), $$

где $u^a_+:=\begin{cases}0, & u\leqslant 0 \cr u^a, & u >0\end{cases}$

Ну и разумеется, функция распределения тоже будет полиномом степени $n-1$. Прошу прощения за предыдущий вариант.

[alisa-lebovski]

А существует ли у этого предел при $n\to\infty$?

[--mS--]

Я так полагаю, что предельное распределение будет равномерным, поскольку $X_1$ и $\overline X$ асимптотически независимы.

[DeBill]

--mS--
Формула включений-исключений. да?
Но что-то ответ мне не нравится....
1. На $x$ ограничение сверху - да, должно быть, и работает оно при малых $m$. Но при больших $m$ надо ограничение снизу....
2.

--mS-- в сообщении #1436228 писал(а):

функция распределения тоже будет полиномом степени $n-1$.

Точнее, "кусочный" полином.
3. Вот я смотрю на знаменатель, и вижу: из "большого" тр-ка (я могу воображать только трехмерный случай...) удаляются меньшие, вылезающие за пределы единичного куба. Вот я смотрю на числитель, и вижу: надо тоже удалять из большого меньшие. Но они - не все одинаковы; у некоторых сторона типа, на один меньше, а у некоторых - типа, на $x$ меньше. Можно явно проверить для $n=3$: не так будет....

[--mS--]

Да нет, тупо взяла из Феллера плотность суммы равномерных и подставила в

$$ f_{X_1\mid \overline X}(x|m)= \frac{f_{X_1}(x)f_{S_{n-1}}(nm-x)}{f_{S_n}(nm)}, $$

где $S_n=X_1+\ldots+X_n$.

Все ограничения определяются положительными частями слагаемых.

-- Ср янв 22, 2020 19:08:01 --

Например, для $n=3$:

1) При $0<m<\frac13$

$$ f_{X_1\mid \overline X}(x\mid m) = \frac{6m-2x}{9m^2}I(0<x<3m). $$

2) При $\frac13<m<\frac23$

$$ f_{X_1\mid \overline X}(x\mid m) = \begin{cases} \dfrac{-6m+2x+4}{-18m^2+18m-3}, & 0<x<3m-1, \\[1em] \dfrac{6m-2x}{-18m^2+18m-3}, & 3m-1<x<1. \end{cases} $$

3) Ну и для $\frac23<m<1$

$$ f_{X_1\mid \overline X}(x\mid m) = \frac{-6m+2x+4}{9(m-1)^2}I(3m-2<x<1). $$

[DeBill]

--mS--
Ох, я почему то воспринял страшную формулу - как формулу для функции распределения, пардон.
Ну, тогда все нормально (хотя ф-я распределения таки будет кусочно-полиномиальная).
Ну, еще бы хотелось как-нить поаккуратнее получить предельное распределение...
Вот как Вы получили "асимптотическую независимость" ? Я не понял.