Многочлен от гиперболических функций.

[Tot]

Ещё осенью заинтересовался вопросом непрохождения сигнала, имеющего конечный спектр Фурье, через бабочку Лоренца. Возникло подозрение, что есть некий сигнал от мнимого аргумента, который проходит через странный аттрактор. Попытался перенести это свойство на множество действительных чисел, используя вместо тригонометрических функций гиперболические.
В связи с этим вопрос.
Возьмём одночлен в виде произведения числового коэффициента, гиперболического тангенса в степени $m$ и гиперболического секанса в степени $n$. Выбор таких гиперболических функций обусловлен гладкостью на множесте действительных чисел. $m$ и $n$ натуральны или равны нулю.
Можно ли сформировать конечный многочлен из таких одночленов, вторая производная которого была бы таким же многочленом с точностью до числовых коэффициентов?
Аргумент у функций - простая переменная на множестве действительных чисел.
Если можно, то нужен пример.

Пробывал рассматривать вопрос в программе MAXIMA, но до конца в преобразованиях гиперболических функций не разобрался. Вроде бы нельзя, но полной уверенности нет.

[arseniiv]

Tot в сообщении #1435714 писал(а):

Выбор таких гиперболических функций обусловлен гладкостью на множесте действительных чисел. $m$ и $n$ натуральны или равны нулю.

А гиперболические косинусы чем не угодили? Если например разрешить $\ch^m x\sh^n x$ для произвольных целочисленных $m, n$, ответ на ваш вопрос будет очевидно положительным.

UPD: Ой, я вчера прочитал «синуса» вместо секанса, хотя эти произведения всё так же обобщают те.

[Tot]

Согласен.
Забыл упомянуть о необходимости физической реализации сигнала, что и определяет мой выбор из гиперболических функций лишь тангенса и секанса.
Ограничение по энергии математически записано Фефферманом в описании постановки задачи существования и гладкости решений УНС.

[Tot]

Вопрос снимаю в связи с невозможностью правильно поставить задачу.
Дифференциальное уравнение там несколько сложнее, а я с попытками упрощения границу абсурда пересёк.
Было бы интересно узнать, решениями каких дифференциальных уравнений являются полиномы указанного выше типа?