Неравенство Йенсена для интегралов - достижение равенства

[57005]

Здравствуйте!

Читаю книгу Э. Либа и М. Лосса "Анализ" и возникли трудности с пониманием доказательства одного пункта теоремы (стр. 36). Приведу необходимую часть формулировки теоремы и ее доказательство из книги (не объемное) ниже.

Цитата:

Теорема
Пусть $J:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ - выпуклая функция и $f - \mu$-измеримая вещественная функция на $\Omega$. Т.к. $J$ выпукла, то она непрерывна. Поэтому $J\circ f(x) $ $ \mu$-измерима на $\Omega$. Предположим, что $\mu(\Omega)=\int\limits_{\Omega}\mu(dx)$ конечно. Пусть $f \in L^{1}(\Omega)$ и $\left\langle f \right\rangle$ - среднее значение $f$, т.е.

$\left\langle f \right\rangle = \frac{1}{\mu(\Omega)} \int\limits_{\Omega}fd\mu$.

Тогда $\left\langle J \circ f \right\rangle \geqslant J( \left\langle f \right\rangle ) \qquad (1)$.
Если $J$ строго выпукла в точке $\left\langle f \right\rangle$, то равенство в $(1)$ достигается тогда и только тогда, когда $f$ - константа.

Доказательство.
$J$ выпукла на $\mathbb{R}$, поэтому существует хотя бы одна константа $V \in \mathbb{R}$ такая, что

$J(t) \geqslant J(\left\langle f \right\rangle) + V(t-\left\langle f \right\rangle)\qquad (2)$

для всех $t \in \mathbb{R}$.
Подставив $f(x)$ вместо $t$ в $(2)$ и проинтегрировав по $\Omega$, получим $(1)$.
(Ниже приведу рассуждения авторов дословно - эта часть мне не понятна)
Пусть $J$ строго выпукла в $\left\langle f \right\rangle$. Тогда неравенство $(2)$ строгое либо для всех $t > \left\langle f \right\rangle$, либо для всех $t < \left\langle f \right\rangle$. Если $f$ не является константой, то $f(x)-\left\langle f \right\rangle$ принимает как положительные, так и отрицательные значения на множествах положительной меры, что доказывает последнее утверждение теоремы.

Последнее предложение для меня и не "прозрачно".
Если $f$ - константа, то в одну сторону утверждение проверяется непосредственно подстановкой константы в $(1)$.
Хорошо, пусть теперь $J$ строго выпукла в точке $\left\langle f \right\rangle$, тогда неравенство $(2)$ строгое для все $t \ne \left\langle f \right\rangle$ - это является отражение того факта, что опорная плоскость к графику $J$ в точке $(\left\langle f \right\rangle, J(\left\langle f \right\rangle))$ будет всегда строго "ниже" графика $J$ во всех точках $\mathbb{R}$ кроме точки $\left\langle f \right\rangle$.

Мне не понятны два момента:
1) Если $f$ не константа, то почему разность $f(x)-\left\langle f \right\rangle$ принимает положительные и отрицательные значения именно на множествах положительной меры? Может ли она принимать допустим положительные значения только на множестве меры нуль?
2) Какие рассуждения надо провести, чтобы из строгости неравенства $(2)$ и "непонятного момента" 1) получить последнее утверждение теоремы - полагаю, что нужно "от противного", но ничего в голову не идет.

Замечание. Мера не конкретизируется - просто неотрицательная счетно-аддитивная мера на некоторой сигма-алгебре подмножеств $\Omega$. Еще наверное можно считать, что мера полная, т.е. любое подмножество множества меры нуль измеримо. Под $\mu$-измеримостью функции $f$ подразумевается, что функция определена почти всюду на $\Omega$ и ее можно так доопределить на множестве меры нуль, что она станет измеримой относительно сигма-алгебры, на которой определена мера $\mu$.

[vpb]

57005 в сообщении #1435498 писал(а):

Если $f$ не константа, то почему разность $f(x)-\left\langle f \right\rangle$ принимает положительные и отрицательные значения именно на множествах положительной меры? Может ли она принимать допустим положительные значения только на множестве меры нуль?

Ну, если функция интегрируема, и её среднее значение --- нуль, то либо она почти всюду нуль, либо она как положительные, так и отрицательные значения принимает на множестве положительной меры. Если это не очевидно, значит надо пока отложить про неравенство Иенсена и поизучать про меру и интеграл. Может по другим книжкам, например про интеграл Лебега по Колмогорову-Фомину.

[57005]

vpb в сообщении #1435526 писал(а):

57005 в сообщении #1435498 писал(а):

Если $f$ не константа, то почему разность $f(x)-\left\langle f \right\rangle$ принимает положительные и отрицательные значения именно на множествах положительной меры? Может ли она принимать допустим положительные значения только на множестве меры нуль?

Ну, если функция интегрируема, и её среднее значение --- нуль, то либо она почти всюду нуль, либо она как положительные, так и отрицательные значения принимает на множестве положительной меры. Если это не очевидно, значит надо пока отложить про неравенство Иенсена и поизучать про меру и интеграл. Может по другим книжкам, например про интеграл Лебега по Колмогорову-Фомину.

Я Вас понял, проинтегрируем выражение $f - \left\langle f \right\rangle$ по $\Omega$ - получим нуль, следовательно, либо $f - \left\langle f \right\rangle = 0$ почти всюду, либо $f - \left\langle f \right\rangle$ принимает положительные и отрицательные значения на множествах ненулевой меры - интегралы от положительной и отрицательной частей функции уничтожатся. Но $f$ не константа, следовательно, второй вариант. Допустим это ясно, благодарю.

Но меня больше интересует "непонятный момент" 2). Вы по нему что-нибудь можете подсказать?

На счет "отложить неравенство Йенсена" - само неравенство выводится элементарно, если знать про существование опорных плоскостей в каждой точке выпуклой функции на $\mathbb{R}^{d}$, оно во многих учебниках выводится, мне же интересен последний пункт теоремы.

[vpb]

Рассмотрите отдельно три частных случая: 1) $J=\operatorname{const}$, 2) $J$ --- линейная, $J(x)=kx$, 3) $J$ --- неотрицательная, причем $\langle f\rangle$ --- ее единственный нуль.

[57005]

vpb в сообщении #1435630 писал(а):

Рассмотрите отдельно три частных случая: 1) $J=\operatorname{const}$, 2) $J$ --- линейная, $J(x)=kx$, 3) $J$ --- неотрицательная, причем $\langle f\rangle$ --- ее единственный нуль.

Уважаемый vpb, честно говоря я не понял на что Вы намекали, указывая рассмотреть эти частные случаи, хотя я их честно рассмотрел. Могли бы Вы более подробно объяснить, что имелось ввиду?

Но так или иначе с доказательством разобрался. Вы были правы, указав на пробелы в знаниях по теории меры и интеграла.
Во всей литературе по теории меры, которая мне попадалась, на пространстве суммируемых функций вводилось отношение частичного порядка ($f$ "предшествует" $g$, если $f \leqslant g$ почти всюду) и устанавливалась монотонность интеграла как функционала на этом пространстве ($\int f \leqslant \int g$) и все.

Но справедливо утверждение:
Из $\mu(\Omega)>0$ и $f>0$ почти всюду на $\Omega$ следует $\int f > 0$.
Действительно, $\Omega \setminus \left\lbrace f \leqslant 0 \right\rbrace = \left\lbrace f > 0 \right\rbrace = f^{-1}(\bigcup\limits_{n \geqslant 1}(\frac{1}{n} ; \infty)) = \bigcup\limits_{n \geqslant 1}\left\lbrace f > \frac{1}{n} \right\rbrace$, тогда существует номер $k$ такой, что $\mu\left\lbrace f > \frac{1}{k} \right\rbrace > 0$.
Справедлива оценка $\int_{\Omega} f = \int_{\Omega \setminus \left\lbrace f \leqslant 0 \right\rbrace} f + \int_{\left\lbrace f \leqslant 0 \right\rbrace} f = \int_{\Omega \setminus \left\lbrace f \leqslant 0 \right\rbrace} f \geqslant \int_{\left\lbrace f > \frac{1}{k} \right\rbrace} f \geqslant \frac{1}{k} \mu \left\lbrace f > \frac{1}{k} \right\rbrace > 0$.
Хотя возможно получить этот же результат из неравенства Чебышева.

Теперь можно доказать необходимость последнего утверждения теоремы "от противного".
Пусть $J$ строго выпукла в точке $\left\langle f \right\rangle$, в $(1)$ равенство, но функция $f$ отлична от константы, тогда $(2)$ перепишется в виде

$J \circ f - \left\langle J \circ f \right\rangle > V(f - \left\langle f \right\rangle)$ для всех $x \in \left\lbrace f \ne \left\langle f \right\rangle \right\rbrace$.

Т.к. $\mu \left\lbrace f \ne \left\langle f \right\rangle \right\rbrace > 0$, то

$\int_{\left\lbrace f \ne \left\langle f \right\rangle \right\rbrace} (J \circ f - \left\langle J \circ f \right\rangle) > V \int_{\left\lbrace f \ne \left\langle f \right\rangle \right\rbrace} (f - \left\langle f \right\rangle) $

$ \int_{\left\lbrace f \ne \left\langle f \right\rangle \right\rbrace} (J \circ f - \left\langle J \circ f \right\rangle) + \int_{\left\lbrace f = \left\langle f \right\rangle \right\rbrace} (J \circ f - \left\langle J \circ f \right\rangle) > V \int_{\left\lbrace f \ne \left\langle f \right\rangle \right\rbrace} (f - \left\langle f \right\rangle)+V \int_{\left\lbrace f = \left\langle f \right\rangle \right\rbrace} (f - \left\langle f \right\rangle)$

$\int_{\Omega} (J \circ f - \left\langle J \circ f \right\rangle) > V \int_{\Omega} (f - \left\langle f \right\rangle) \sim 0 > 0$.

В фигурных скобках указан предикат, определяющий подмножество множества $\Omega$.

[vpb]

57005 в сообщении #1436314 писал(а):

Уважаемый vpb, честно говоря я не понял на что Вы намекали, указывая рассмотреть эти частные случаи, хотя я их честно рассмотрел. Могли бы Вы более подробно объяснить, что имелось ввиду?

Я имел в виду, что сильно выпуклую функцию можно разложить в сумму трех функций таких видов. Поэтому достаточно доказать неравенство (1) для функций каждого из этих видов, а потом можно сложить три неравенства. (Ясно, что в неравенстве и левая, и правая части зависят от $J$ аддитивно, т.е., например, $\langle (J'+J'')\circ f\rangle= \langle J'\circ f\rangle+\langle J''\circ f\rangle$ для любых функций $J'$ и $J''$ (при условии, что оба слагаемых определены).