Задача по теории колебаний

[Mihr]

Dr Blue,
длинновато, но ответ правильный. Несколько квадратов стоило бы, конечно, вынести из-под корня.
И ещё: подставьте теперь сюда $\omega_0=\sqrt{\rho_1 \rho_2}$

[Dr Blue]

Mihr
$\frac{\omega_0^2-\rho_1^2}{2\sqrt{(\eta^2-1)\rho_1}}$

$b=\frac{\rho_1\rho_2-\rho_1^2}{2\sqrt{(\eta^2-1)\rho_1}}$

-- 14.01.2020, 22:51 --

Теперь просто подставляю в формулу для добротности?
$Q=\dfrac{\omega}{2b}$

$\omega=\sqrt{\omega_0^2-b^2}$

[Mihr]

Dr Blue,
проверьте знаменатель, у Вас ошибка. Под корнем был квадрат величины $\rho_1$. Значит, она целиком выносится из-под корня. После чего дробь ещё сокращается. Затем, да, подставляем результат в формулу для добротности.

[Dr Blue]

Mihr

Mihr в сообщении #1435200 писал(а):

Под корнем был квадрат величины $\rho_1$. Значит, она целиком выносится из-под корня. После чего дробь ещё сокращается.

$b=\frac{\rho_1\rho_2-\rho_1^2}{2\rho_1\sqrt{(\eta^2-1)}}$

$b=\frac{\rho_2-\rho_1^2}{2\sqrt{(\eta^2-1)}}$

$Q=\frac{\omega}{2b}=\frac{\sqrt{\omega_0^2-b^2}}{2b}=\sqrt{\frac{\omega_0^2-b^2}{4b^2}}=$
$=\sqrt{\frac{\omega_0^2}{4b^2}-\frac{b^2}{4b^2}}=\sqrt{\frac{\omega_0^2}{4b^2}-\frac{1}{4}}=$

$=\sqrt{\frac{\rho_1\rho_2}{4\cdot\left(\frac{\rho_2-\rho_1^2}{2\sqrt{\eta^2-1}}\right)^2}-\frac{1}{4}}=$

$=\sqrt{\frac{\rho_1\rho_2}{4\cdot\frac{\rho_2^2-\rho_1^4}{4(\eta^2-1)}}-\frac{1}{4}}$=

$=\sqrt{\frac{(\eta^2-1)\rho_1\rho_2}{\rho_2^2-\rho_1^4}-\frac{1}{4}}$

Перерешал 3 раза, не улавливаю, где я допустил ошибку, что у меня вместо $\rho_1^2$ степень стала четвертой - $\rho_1^4$
И почему в знаменателе выходит разность квадратов , а не квадрат разности, и почему $\rho_2-\rho_1$, а не наоборот, $\rho_1-\rho_2$
Либо я допустил ошибку в банальном действии при сокращении дроби, либо уже дальше. Но перерешав не могу найти..

[Mihr]

Dr Blue,
лихо Вы "сокращаете". Чтобы дробь сократить, нужно предварительно разложить на множители числитель и знаменатель. Конкретно в данном случае: нужно было вначале в числителе вынести за скобки множитель $\rho_1$, а уж затем сокращать дробь. Придётся ещё раз...

[Dr Blue]

Mihr
$b=\frac{\rho_1-rho_2}{2\sqrt{\eta^2-1}}$
$Q=\sqrt{\frac{\omega_0^2}{4b^2}-\frac{b^2}{4b^2}}=\sqrt{\frac{\omega_0^2}{4b^2}-\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{(\eta^2-1)\rho_1\rho_2}{(\rho_2-\rho_1)^2}-\frac{1}{4}}$
Должно быть правильно ведь, но в знаменателе $(\rho_2-\rho_1)^2$ вместо $(\rho_1-\rho_2)^2$
Пробовал вместо $\rho_1$ подставить $\rho_2$ в $b$, тогда все получается. Выражаю в числителе $\rho_2$, получаю $(\rho_1-\rho_2)^2$. Но..

[DimaM]

Dr Blue в сообщении #1435276 писал(а):

но в знаменателе $(\rho_2-\rho_1)^2$ вместо $(\rho_1-\rho_2)^2$

А сколько будет $(-1)^2$?

[Dr Blue]

DimaM в сообщении #1435277 писал(а):

А сколько будет $(-1)^2$?

Будет единица.
Я понимаю, что возведение в квадрат положительного и отрицательного значения дает положительный результат)
Но факт, что с ответом не сходится. Не понимаю, где-то ошибка, что не получается нужный мне ответ, или..

-- 15.01.2020, 10:16 --

Если брать $\rho_1$, то $b=\frac{\rho_1\rho_2-\rho_1^2}{2\rho_1\sqrt{(\eta^2-1)}}$
$b=\frac{\rho_2-\rho_1}{2\sqrt{\eta^2-1}}$

Если вместо $\rho_1$ подставлю $\rho_2$, то $b=\frac{\rho_1\rho_2-\rho_2^2}{2\rho_2\sqrt{(\eta^2-1)}}=\frac{\rho_2(\rho_1-\rho_2)}{2\rho_2\sqrt{(\eta^2-1)}}=\frac{\rho_1-\rho_2}{2\sqrt{(\eta^2-1)}}$ и все хорошо, тогда сходится.
Но не понимаю, раз делаем с $\rho_1$, почему не так)
Может все же $\rho_2$ нужно?

[EUgeneUS]

Dr Blue

$b$ - по смыслу может быть только положительным.
Поэтому писать:

Dr Blue в сообщении #1435278 писал(а):

$b=\frac{\rho_2-\rho_1}{2\sqrt{\eta^2-1}}$

Не очень аккуратно, если мы не уверены, что $\rho_2 > \rho_1$. А мы в этом не уверены.
Правильнее писать:
$b=\left\lvert\frac{\rho_2-\rho_1}{2\sqrt{\eta^2-1}}\right\rvert$

Но это и не нужно. Так как по формулам везде "таскается" не $b$, а $b^2$, то и выразить достаточно $b^2$.

Dr Blue в сообщении #1435276 писал(а):

но в знаменателе $(\rho_2-\rho_1)^2$ вместо $(\rho_1-\rho_2)^2$

Это одно и то же. Равенство $(\rho_1-\rho_2)^2 = (\rho_2-\rho_1)^2$ выполняется для любых $\rho_1, \rho_2$

P.S. Вам катастрофически не хватает тренировки по преобразованиям и упрощениям выражений с дробями и корнями.

[Mihr]

Dr Blue,
вот два рассуждения (на выбор):

$(\rho_2-\rho_1)^2=(-(\rho_1-\rho_2))^2=(-1\cdot(\rho_1-\rho_2))^2=(-1)^2\cdot(\rho_1-\rho_2)^2=(\rho_1-\rho_2)^2$

$(\rho_2-\rho_1)^2=\rho_2^2-2\rho_2\rho_1+\rho_1^2=\rho_1^2-2\rho_1\rho_2+\rho_2^2=(\rho_1-\rho_2)^2$