f - голоморфна, P - полином. Неравенство.

[volodja]

Пусть $f$ - голоморфная в единичном диске функция, а $P(z) = a_m z^m + a_{m-1} z^{m-1} + \ldots + a_0$ - комплексный полином.

(a) Докажите, что

$$ |a_m f(0)| \le \frac 1{2\pi} \int_0^{2\pi} |f(e^{i\theta})P(e^{i\theta})| d\theta. $$

(b) Выведите отсюда, что для любого индекса $k=0,\ldots,m$

$$ |a_k f(0)| \le \binom{m}{k} \frac 1{2\pi} \int_0^{2\pi} |f(e^{i\theta})P(e^{i\theta})| d\theta. $$

[Юстас]

(a)Заметим, что на единичной окружности $P(\frac 1 z)=P(\bar{z})$, и что $|f(z)|=|\overline{f(z)}|$. Тогда, (с заменой переменной $\theta= -\theta '$),

$$\int\limits_{0}^{2\pi}|f(e^{-i\theta})P(e^{-i\theta})|d\theta=\int\limits_{\gamma}|\overline{f(\bar{z})}P(\frac 1 z)z^{m-1}||dz|\geq |\int\limits_{\gamma}\overline{f(\bar{z})}P(\frac 1 z)z^{m-1}dz|=|2\pi i f(0)a_m|$$

по теореме о вычетах, с учетом того что $\overline{f(\bar{z})}$ аналитична в единичном диске.

[neo66]

Пусть $P(z)=z^n+ a_{n-1}z^{n-1}\dots + a_1z + a_0, z\in\mathbb{C}$ - многочлен.
Доказать, что: $\max\limits_{|z|\le 1}|P(z)|\ge 1$, причем равенство достигается только, если $P(z)=z^n$.

[Юстас]

Вот здесь было уже, достаточно в пункте а) положить $f\equiv 1$.

[Gordmit]

Вот вам еще задачка про многочлен, надеюсь еще не было:
Все корни многочлена лежат в верхней полуплоскости. Докажите, что все корни его производной также лежат в верхней полуплоскости.

И кстати в связи с этой задачей возник вопрос: а верно ли, что корни производной многочлена всегда принадлежат выпуклой оболочке корней самого многочлена?

[RIP]

Gordmit в сообщении #203265 писал(а):

верно ли, что корни производной многочлена всегда принадлежат выпуклой оболочке корней самого многочлена?

Верно. Это (почти) теорема Гаусса-Люка (в теореме дополнительно утверждается, что если корни многочлена не лежат на одной прямой, то все корни производной, отличные от корней самого многочлена, лежат внутри выпуклой оболочки). Доказывается "в одну строчку". Если $f(z)=(z-z_1)\ldots(z-z_n)$, $f'(z_0)=0$, $z_0\ne z_j$ ($j=\overline{1,n}$), то
$\frac1{z_0-z_1}+\ldots+\frac1{z_0-z_n}=0$,
откуда
$z_0=\left(\sum_{j=1}^n|z_0-z_j|^{-2}\right)^{-1}\sum_{j=1}^n|z_0-z_j|^{-2}z_j$,
т.е. $z_0$ есть выпуклая линейная комбинация корней (причём с положительными коэффициентами).

Добавлено спустя 8 минут 56 секунд:

Кстати, Ваша задачка, очевидно, эквивалентна тому вопросу, который Вы спрашивали.