Матожидание и логарифм

[bubu gaga]

Подскажите пожалуйста, как доказываются подобные неравенства

$$ \ln \Bigl( \mathbb{E}[X] \Bigr) \ge \mathbb{E}\Bigl[ \ln X \Bigr] $$

Спасибо!

[Brukvalub]

Это связано с выпуклостью вверх функции ln(x). (см. также неравенство Йенсена: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D0%99%D0%B5%D0%BD%D1%81%D0%B5%D0%BD%D0%B0 )

[bubu gaga]

Насколько я понял, идея доказательства в том, что для переменной $\ln X$ строится доминирующая переменная вида $a X + b$.

Небольшое уточнение, а считаются ли разумеющимися подобные выводы, или это надо как-то доказывать:

$$ \forall_{\omega \in \Omega} \; X(\omega) \le Y(\omega) \qquad \Rightarrow \qquad \mathbb{E}\bigl[X\bigr] \le \mathbb{E}\bigl[Y\bigr] $$

Спасибо!

[Brukvalub]

bubu gaga в сообщении #143485 писал(а):

Насколько я понял, идея доказательства в том, что для переменной $\ln X$ строится доминирующая переменная вида $a X + b$.

Примерно так. Почитайте док-во, например, у Черновой: http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node44.html

[PAV]

bubu gaga писал(а):

Небольшое уточнение, а считаются ли разумеющимися подобные выводы, или это надо как-то доказывать:

Это одно из базовых свойств математического ожидания (интеграла). Доказывать надо, но это делается в любом курсе и не очень сложно.