Контринтуитивность теоремы Хана-Банаха

[пианист]

Вопрос возник при прочтении книжечки Ю.А.Неретина "Nikolay Luzin, his students, adversaries, and defenders", так что и адресуется по преимуществу к тем, кто читал.
В разделе 7.5 автор, рассказывая о трудностях, связанных с аксиомой выбора, в качестве примера приводит теорему Хана-Банаха:

Цитата:

Результат, однако, для несепарабельных пространств будет странным. Если в качестве Y (объемлющее пространство в теореме - п.) взять пространство $L^\infty [0,1]$, то ограниченные линейные функционалы имеют вид
$l(f) = \smallint_{[0,1]} f(x) d\nu(x)$,
где $\nu$ – конечно-аддитивный заряд (знаконеопределенная мера) конечной вариации. Однако ни одной конечно-аддитивной меры, которая не была бы счетно-аддитивной, предъявить невозможно. То есть пространство, двойственное к $L^\infty [0,1]$, состоит из "осязаемой" части, которая состоит из счетно-аддитивных зарядов, или проще, линейных функционалов вида
$l(f) = \smallint_{[0,1]} f(x)g(x) dx$, где g интегрируема,
и большой "неосязаемой" части, "существование" которой обеспечивается трансфинитной индукцией (сейчас чаще ссылаются на эквивалентную ей лемму Цорна).

Вопрос: как, собс-но, это соотносится с теоремой, о каком подпространстве $L^\infty [0,1]$, фигурирующем в формулировке теоремы, здесь идет речь?

[Padawan]

Ну, предположим, о подпространстве непрерывных функций.
Вообще странный текст. Почему "часть, состоящая из счетно-аддитивных зарядов" осязаема? Как понимать интеграл по дельта-мере Дирака? Или по канторовой лестнице? Ведь функции из $L^\infty$ определены с точностью до меры нуль, а указанные заряды как раз сосредоточены на множестве меры нуль. Осязаемая часть, действительно, $L^1\subset L^1^{\ast\ast}=L^\infty^\ast$, но это не есть множество счетно аддитивных зарядов.

[пианист]

Спасибо за наводки.

Padawan в сообщении #1430880 писал(а):

Почему "часть, состоящая из счетно-аддитивных зарядов" осязаема?

Я так понимаю, по контексту повествования, речь вот о чем: конечно-аддитивные меры, не являющиеся счетно-аддитивными, существуют, и как раз именно в силу теоремы Хана-Банаха, только вот существование это какое-то призрачное, типа существования полных упорядочений $\mathbb{R}$. Интеграл по дельте или по лестнице Кантора во всяком случае как-то описан (в книжечке Неретина про этот аспект говорится: называемые объекты).
Только никак не могу вкурить, как тут продолжение функционалов по Хану-Банаху задействовано.

(ворчание)

И по ходу, кстати, почему бы автору книжечки было не написать про это чуть поподробнее.

[demolishka]

пианист в сообщении #1431002 писал(а):

Только никак не могу вкурить, как тут продолжение функционалов по Хану-Банаху задействовано.

Ну типа куда продолжится, например, дельта функция с подпространства непрерывных функций? - в какую-то бяку, которая гарантируется теоремой Хана-Банаха. Считать ли это странностью - дело другое.

[george66]

Можно спросить у самого Неретина
https://pustoj-zhurnal.livejournal.com/

[пианист]

george66
Я с ним, к сожалению, совсем не знаком, а вопрос не настолько важный (переживу, если не буду знать ).
Подумал, вдруг кто из здешних завсегдатаев читал книжку (на правах рекламы: очень интересно), и при этом знает эти дела с конечно и счетно аддитивными зарядами.
demolishka
Спасибо.

[g______d]

Я бы сказал, что здесь есть как минимум три градации, а не две.

1) Счётно аддитивные заряды, абсолютно непрерывные по отношению к той мере, по которой рассматривается $L^{\infty}$. В данном случае интегралы с функциями из $L^1$. Их можно определить напрямую.

2) Произвольные счётно аддитивные заряды конечной полной вариации. Их можно, как объяснил demolishka, определить на $C$, а потом продолжить по Хану-Банаху на $L^{\infty}$, не единственным образом.

3) Конечно, но не счётно аддитивные заряды. Пример: рассмотрим неглавный ультрафильтр на $\mathbb Z$. Объявим меру множества единицей если оно принадлежит ультрафильтру и нулём если не принадлежит. На самом деле это дельта-мера на одной из точек Стоун-Чеховской компактификации $\mathbb Z$. Очевидным образом эту меру (конечно-аддитивную) можно продолжить на подмножества $\mathbb R$.

Прочитать о том, что такое ультрафильтр и как строить неглавные ультрафильтры с помощью леммы Цорна можно здесь:

https://en.wikipedia.org/wiki/Ultrafilter
https://en.wikipedia.org/wiki/Boolean_p ... lter_lemma

В каком месте в пункте 3 Хан-Банах -- я точно не знаю, потому что после того, как заряд построен, он определяет один функционал, а применение теоремы ХБ обычно предполагает какой-то произвол.

Возможно, заряд изначально строится как-то по-другому.

[george66]

Под "осязаемостью" имеется в виду определимость. Допустим, мы доказали, что существует некое множество или функция, или отношение (например, полное упорядочение действительных чисел), но не можем предъявить никакой формулы ZF, которая его задаёт (и доказать, что эта формула задаёт полный порядок на действительных числах). Это и есть неопределимость.

[пианист]

g______d
Спасибо, буду думать.
george66
Ну да, я тоже так понял Неретина.

[пианист]

george66 в сообщении #1431185 писал(а):

Допустим, мы доказали, что существует некое множество или функция, или отношение (например, полное упорядочение действительных чисел), но не можем предъявить никакой формулы ZF, которая его задаёт (и доказать, что эта формула задаёт полный порядок на действительных числах). Это и есть неопределимость.

А Вы не знаете - существуют такие результаты (что полное упорядочение $\mathbb R$ нельзя задать никакой формулой ZF)?

[mihaild]

пианист в сообщении #1434301 писал(а):

существуют такие результаты (что полное упорядочение $\mathbb R$ нельзя задать никакой формулой ZF)?

Существуют. Точную формулировку не знаю, но, если бы такой порядок задать было можно, то можно было бы доказать что существует полное упорядочение $\mathbb R$ в чистой ZF, и соответственно построить множество Витали. А существуют модели ZF, в которых все подмножества $\mathbb R$ измеримы.

[пианист]

Забавно.
Спасибо!
Не подскажете, где про модели с измеримыми подмножествами $\mathbb R$ почитать?

[george66]

Такие модели строятся методом вынуждения, есть книга Йех "Теория множеств и метод форсинга" и "Справочная книга по математической логике" (в томе про теорию множеств). Чтение не очень лёгкое, но по сути это близко к моделям Крипке. Строится некоторая "шкала" (в простейшем случае это упорядоченное множество "вынуждающих условий", всё более ограничительных по мере движения по шкале). Каждому элементу шкалы ("моменту времени") сопоставляется обычная теоретико-множественная модель. Получается "модель, меняющаяся со временем", которую можно воспринимать как модель с недвузначной логикой (значениями истинности будут некие "коидеалы шкалы"). Подобрав подходящую шкалу, можно добиться, чтобы была неверна континуум-гипотеза, например. Мы как бы строим нужную модель аппроксимациями, делая условия всё строже и строже, а потом берём предел. Если мы хотим получить обычную двузначную модель, на шкале надо задать ультрафильтр и по нему сплющить (это называется "генерическое множество").

[пианист]

george66
Просто потрясающе!
Спасибо.