Доказать, что ранги матриц равны

[mehanat]

Задача: Матрицы $A$ и $B$ таковы, что $A^2=A, B^2=B$ и матрица $E-(A+B)$ обратима. Докажите, что $\operatorname{rk}A = \operatorname{rk}B $
Пытаюсь решить следующим способом:
Домножаю $E-(A+B)$ на $A-B$ справа и получаю
$(E-(A+B))(A-B)=AB-BA$
Таким образом, если $AB=BA$ то т. к. по условию $E-(A+B)$ обратима, получим что $A-B=0$ и $A=B$, следовательно и их ранги равны. Но доказать, что $AB=BA$ не получается (и возможно это предположение неверно). Подскажите пожалуйста, как можно решить данную задачу?

[nnosipov]

mehanat
Попробуйте поумножать матрицу $X=E-A-B$ на матрицы $A$ и $B$ по отдельности. Возможно, Вы заметите какую-то связь (соотношение) между матрицами $A$ и $B$.

[mehanat]

nnosipov в сообщении #1434082 писал(а):

Возможно, Вы заметите какую-то связь (соотношение) между матрицами $A$ и $B$.

Да, спасибо, получил соотношение $XA=BX$ следовательно $B=X^{-1}AX$ и ранги матриц $A$ и $B$ равны т. к. матрицы подобны

[nnosipov]

Да, так и есть.

[B@R5uk]

mehanat в сообщении #1434080 писал(а):

Матрицы $A$ и $B$ таковы, что $A^2=A, B^2=B$

Стало интересно, что из себя представляют такие матрицы. Очевидно, что единичная матрица входит в это множество. Если у неё на диагонали заменить какое-либо число единиц нулями, то получившаяся матрица тоже будет входить в это множество. Стало интересно, а есть ли недиагональные матрицы, удовлетворяющие указанному свойству. Решил решать задачу в лоб: заставил компьютер перебирать все матрицы 3 на 3 со всевозможными комбинациями значений 0 и ±1. В результате нашёл 164 матрицы. У большинства из них ранк 1 и 2. Единственная матрица, имеющая ранк 3 — единичная.

Кому интересно, результат поиска:

(Оффтоп)

     1
     1     1    -1
     1     1    -1
     1     1    -1
===============
     1
     1    -1     1
    -1     1    -1
    -1     1    -1
===============
     1
     1    -1    -1
    -1     1     1
     1    -1    -1
===============
     1
     1     1     1
     1     1     1
    -1    -1    -1
===============
     1
     1     0    -1
     1     0    -1
     0     0     0
===============
     2
     1     0    -1
     0     1    -1
     0     0     0
===============
     1
     0     1    -1
     0     1    -1
     0     0     0
===============
     2
     1     0     0
    -1     1    -1
    -1     0     0
===============
     1
     0     0     0
    -1     1    -1
     0     0     0
===============
     1
     0     0     0
     0     1    -1
     0     0     0
===============
     2
     1     0     0
     0     1    -1
     0     0     0
===============
     1
     0     0     0
     1     1    -1
     0     0     0
===============
     2
     1     0     0
     1     1    -1
     1     0     0
===============
     1
     1     0     1
    -1     0    -1
     0     0     0
===============
     1
     0    -1     1
     0     1    -1
     0     0     0
===============
     2
     1     0     1
     0     1    -1
     0     0     0
===============
     2
     1    -1    -1
     0     1     0
     0    -1     0
===============
     1
     1    -1    -1
     0     0     0
     0     0     0
===============
     1
     1     0    -1
     0     0     0
     0     0     0
===============
     1
     1     1    -1
     0     0     0
     0     0     0
===============
     2
     1     0    -1
     0     1     0
     0     0     0
===============
     2
     1     1    -1
     0     1     0
     0     1     0
===============
     1
     1    -1     0
     0     0     0
     1    -1     0
===============
     1
     1     1     0
     0     0     0
    -1    -1     0
===============
     1
     0    -1     0
     0     1     0
     0    -1     0
===============
     2
     1     0     0
     0     1     0
    -1    -1     0
===============
     1
     0     0     0
     1     1     0
    -1    -1     0
===============
     1
     0     0     0
     0     1     0
     0    -1     0
===============
     2
     1     0     0
     0     1     0
     0    -1     0
===============
     1
     0     0     0
    -1     1     0
     1    -1     0
===============
     2
     1     0     0
     0     1     0
     1    -1     0
===============
     1
     0     1     0
     0     1     0
     0    -1     0
===============
     1
     1    -1     0
     0     0     0
     0     0     0
===============
     1
     1     0     0
    -1     0     0
    -1     0     0
===============
     1
     1     0     0
     0     0     0
    -1     0     0
===============
     1
     1     0     0
     1     0     0
    -1     0     0
===============
     1
     1     0     0
    -1     0     0
     0     0     0
===============
     0
     0     0     0
     0     0     0
     0     0     0
===============
     1
     1     0     0
     0     0     0
     0     0     0
===============
     1
     1     0     0
     1     0     0
     0     0     0
===============
     1
     1     0     0
    -1     0     0
     1     0     0
===============
     1
     1     0     0
     0     0     0
     1     0     0
===============
     1
     1     0     0
     1     0     0
     1     0     0
===============
     1
     1     1     0
     0     0     0
     0     0     0
===============
     1
     0    -1     0
     0     1     0
     0     0     0
===============
     2
     1     0     0
     0     1     0
    -1     0     0
===============
     1
     0     0     0
    -1     1     0
     0     0     0
===============
     1
     0     0     0
     0     1     0
     0     0     0
===============
     2
     1     0     0
     0     1     0
     0     0     0
===============
     1
     0     0     0
     1     1     0
     0     0     0
===============
     2
     1     0     0
     0     1     0
     1     0     0
===============
     1
     0     1     0
     0     1     0
     0     0     0
===============
     1
     1    -1     0
     0     0     0
    -1     1     0
===============
     1
     1     1     0
     0     0     0
     1     1     0
===============
     1
     0    -1     0
     0     1     0
     0     1     0
===============
     1
     0     0     0
    -1     1     0
    -1     1     0
===============
     2
     1     0     0
     0     1     0
    -1     1     0
===============
     1
     0     0     0
     0     1     0
     0     1     0
===============
     2
     1     0     0
     0     1     0
     0     1     0
===============
     2
     1     0     0
     0     1     0
     1     1     0
===============
     1
     0     0     0
     1     1     0
     1     1     0
===============
     1
     0     1     0
     0     1     0
     0     1     0
===============
     2
     1     1     1
     0     1     0
     0    -1     0
===============
     1
     1    -1     1
     0     0     0
     0     0     0
===============
     1
     1     0     1
     0     0     0
     0     0     0
===============
     1
     1     1     1
     0     0     0
     0     0     0
===============
     2
     1     0     1
     0     1     0
     0     0     0
===============
     2
     1    -1     1
     0     1     0
     0     1     0
===============
     1
     1     0    -1
    -1     0     1
     0     0     0
===============
     1
     0    -1    -1
     0     1     1
     0     0     0
===============
     2
     1     0    -1
     0     1     1
     0     0     0
===============
     2
     1     0     0
     1     1     1
    -1     0     0
===============
     1
     0     0     0
    -1     1     1
     0     0     0
===============
     1
     0     0     0
     0     1     1
     0     0     0
===============
     2
     1     0     0
     0     1     1
     0     0     0
===============
     1
     0     0     0
     1     1     1
     0     0     0
===============
     2
     1     0     0
    -1     1     1
     1     0     0
===============
     1
     1     0     1
     1     0     1
     0     0     0
===============
     2
     1     0     1
     0     1     1
     0     0     0
===============
     1
     0     1     1
     0     1     1
     0     0     0
===============
     1
    -1     1    -1
    -1     1    -1
     1    -1     1
===============
     2
     1    -1    -1
     0     0    -1
     0     0     1
===============
     1
     0     0    -1
     0     0    -1
     0     0     1
===============
     2
     0     0    -1
    -1     1    -1
     0     0     1
===============
     1
     1    -1    -1
     1    -1    -1
    -1     1     1
===============
     1
     0     0     0
     1     0    -1
    -1     0     1
===============
     2
     1     0     0
    -1     0    -1
     0     0     1
===============
     1
     0     0     0
     0     0    -1
     0     0     1
===============
     2
     1     0     0
     0     0    -1
     0     0     1
===============
     2
     1     0     0
     1     0    -1
     0     0     1
===============
     1
     0     0     0
    -1     0    -1
     1     0     1
===============
     1
    -1    -1     1
     1     1    -1
    -1    -1     1
===============
     1
     0     0     1
     0     0    -1
     0     0     1
===============
     2
     1     1     1
     0     0    -1
     0     0     1
===============
     2
     0     0     1
     1     1    -1
     0     0     1
===============
     1
     1     1     1
    -1    -1    -1
     1     1     1
===============
     1
     0     1    -1
     0     0     0
     0    -1     1
===============
     1
     0     0    -1
     0     0     0
     0     0     1
===============
     2
     0    -1    -1
     0     1     0
     0     0     1
===============
     2
     0     0    -1
     0     1     0
     0     0     1
===============
     2
     0     1    -1
     0     1     0
     0     0     1
===============
     1
     0    -1    -1
     0     0     0
     0     1     1
===============
     2
     1    -1     0
     0     0     0
     0    -1     1
===============
     2
     1     0     0
    -1     0     0
    -1    -1     1
===============
     1
     0     0     0
     0     0     0
    -1    -1     1
===============
     1
     0     0     0
     0     0     0
     0    -1     1
===============
     2
     1     0     0
     0     0     0
     0    -1     1
===============
     1
     0     0     0
     0     0     0
     1    -1     1
===============
     2
     1     0     0
     1     0     0
     1    -1     1
===============
     2
     1     1     0
     0     0     0
     0    -1     1
===============
     2
     0    -1     0
     0     1     0
    -1    -1     1
===============
     2
     0     1     0
     0     1     0
     1    -1     1
===============
     2
     1    -1     0
     0     0     0
     0     0     1
===============
     1
     0     0     0
     0     0     0
    -1     0     1
===============
     2
     1     0     0
    -1     0     0
     0     0     1
===============
     1
     0     0     0
     0     0     0
     0     0     1
===============
     2
     1     0     0
     0     0     0
     0     0     1
===============
     2
     1     0     0
     1     0     0
     0     0     1
===============
     1
     0     0     0
     0     0     0
     1     0     1
===============
     2
     1     1     0
     0     0     0
     0     0     1
===============
     2
     0    -1     0
     0     1     0
     0     0     1
===============
     2
     0     0     0
    -1     1     0
    -1     0     1
===============
     2
     0     0     0
     0     1     0
    -1     0     1
===============
     2
     0     0     0
     1     1     0
    -1     0     1
===============
     2
     0     0     0
    -1     1     0
     0     0     1
===============
     2
     0     0     0
     0     1     0
     0     0     1
===============
     3
     1     0     0
     0     1     0
     0     0     1
===============
     2
     0     0     0
     1     1     0
     0     0     1
===============
     2
     0     0     0
    -1     1     0
     1     0     1
===============
     2
     0     0     0
     0     1     0
     1     0     1
===============
     2
     0     0     0
     1     1     0
     1     0     1
===============
     2
     0     1     0
     0     1     0
     0     0     1
===============
     2
     1    -1     0
     0     0     0
     0     1     1
===============
     1
     0     0     0
     0     0     0
    -1     1     1
===============
     2
     1     0     0
     1     0     0
    -1     1     1
===============
     1
     0     0     0
     0     0     0
     0     1     1
===============
     2
     1     0     0
     0     0     0
     0     1     1
===============
     2
     1     0     0
    -1     0     0
     1     1     1
===============
     1
     0     0     0
     0     0     0
     1     1     1
===============
     2
     1     1     0
     0     0     0
     0     1     1
===============
     2
     0    -1     0
     0     1     0
     1     1     1
===============
     2
     0     1     0
     0     1     0
    -1     1     1
===============
     1
     0    -1     1
     0     0     0
     0    -1     1
===============
     1
     0     0     1
     0     0     0
     0     0     1
===============
     2
     0    -1     1
     0     1     0
     0     0     1
===============
     2
     0     0     1
     0     1     0
     0     0     1
===============
     2
     0     1     1
     0     1     0
     0     0     1
===============
     1
     0     1     1
     0     0     0
     0     1     1
===============
     1
     1     1    -1
    -1    -1     1
    -1    -1     1
===============
     1
     0     0    -1
     0     0     1
     0     0     1
===============
     2
     1     1    -1
     0     0     1
     0     0     1
===============
     2
     0     0    -1
     1     1     1
     0     0     1
===============
     1
    -1    -1    -1
     1     1     1
     1     1     1
===============
     1
     0     0     0
    -1     0     1
    -1     0     1
===============
     2
     1     0     0
    -1     0     1
     0     0     1
===============
     1
     0     0     0
     0     0     1
     0     0     1
===============
     2
     1     0     0
     0     0     1
     0     0     1
===============
     2
     1     0     0
     1     0     1
     0     0     1
===============
     1
     0     0     0
     1     0     1
     1     0     1
===============
     1
     1    -1     1
     1    -1     1
     1    -1     1
===============
     2
     1    -1     1
     0     0     1
     0     0     1
===============
     1
     0     0     1
     0     0     1
     0     0     1
===============
     2
     0     0     1
    -1     1     1
     0     0     1
===============
     1
    -1     1     1
    -1     1     1
    -1     1     1
===============
   164

[nnosipov]

B@R5uk в сообщении #1434092 писал(а):

Стало интересно, а есть ли недиагональные матрицы, удовлетворяющие указанному свойству.

Это в точности матрицы проекторов (операторов проектирования на подпространство параллельно дополнительному подпространству).

B@R5uk в сообщении #1434092 писал(а):

У большинства из них ранк 1 и 2.

Еще бы. Исключений только два --- нулевая и единичная матрица.

[B@R5uk]

nnosipov в сообщении #1434094 писал(а):

Это в точности матрицы проекторов

Точно! Совсем всё забываю. Правильное имя сразу даёт ответ на другой мой вопрос: существует ли пример матрицы с иррациональными числами:

$$\left( \begin{matrix} \frac{3}{4} & \frac{\sqrt{3}}{4} & 0 & 0 \\ \frac{\sqrt{3}}{4} & \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \end{matrix} \right)$$

[Евгений Машеров]

B@R5uk в сообщении #1434092 писал(а):

Стало интересно, что из себя представляют такие матрицы

Это матрицы, собственные значения которых равны либо нулю, либо единице...

[nnosipov]

Евгений Машеров в сообщении #1434288 писал(а):

Это матрицы, собственные значения которых равны либо нулю, либо единице...

Это следствие равенства $A^2=A$, но не критерий.