Интегральные уравнения

[Asalex]

Подскажите пожалуйста хорошую литературу по интегральным уравнениям Фредгольма первого и второго рода и уравнениям Вольтерра.

[Asalex]

И еще один вопрос.

Решаем задачу Неймана для уравнения Лапласа в ограниченной области $\Omega$ методом потенциалов.
То есть ищем функцию из класса $C^2 \left( \Omega \right) \bigcap C^1 \left( \overline{\Omega} \right)$, удовлетворяющую уравнению Лапласа и граничному условию.
Ищем решение в виде потенциала простого слоя.$\phi\left(x \right)= \int\limits_\Omega \frac {\rho \left( y \right)} {|x-y|} ds_y$

Как быть с тем, что нормальная производная потенциала простого слоя на границе разрывна, а значит, не может быть и речи о том, что $\phi$ непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности $\overline\Omega$?

[Gafield]

Цитата:

Подскажите пожалуйста хорошую литературу по интегральным уравнениям Фредгольма первого и второго рода и уравнениям Вольтерра.

По уравнениям второго рода - Владимиров уравнения математической физики. Для эллиптических краевых задач есть Колтон,Кресс там есть общая операторов и различные интегральные представления решений. А вообще, в здешнецй библиотеке есть поиск по индексам: интегральные уравнения

Цитата:

Как быть с тем, что нормальная производная потенциала простого слоя на границе разрывна, а значит, не может быть и речи о том, что непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности ?

Так решение $u$ ищется только в области $\Omega$ и поведение потенциала вне области к нему отношения не имееет. Пусть, для определености, граница гладкая, а плотность принадлежит классу Гельдера $C^{0,\alpha}(\partial\Omega)$. Тогда функция $u=\phi|_\Omega \in C^{1,\alpha}(\bar \Omega)$ и $u$ можно продолжить до функции $\tilde u\in C^{1,\alpha}(\mathbb R^n)$.

[Asalex]

Спасибо за ответы и за ссылки.

Правильно ли я понимаю, что у потенциала простого слоя в точках границы области не существует производной, и поэтому интеграл $ \int\limits_\Omega \frac {\left(y-x,n(x) \right)} {|x-y|^3} \rho \left( y \right)ds_y$, который получается формальным дифференцированием по нормали в точках границы, не представляет на самом деле нормальной производной потенциала простого слоя?


Все, теперь разобрался.
Проблема была в том, что я не понимал, почему существуют односторонние пределы нормальной производной потенциала простого слоя в точках границы. А это следует из существования односторонних пределов $\lim \limits_{\varepsilon \to 0 }\frac {d \pfi ( x \pm \varepsilon n(x))} {d n(x)}$

[Gafield]

Asalex писал(а):

Правильно ли я понимаю, что у потенциала простого слоя в точках границы области не существует производной, и поэтому интеграл $ \int\limits_\Omega \frac {\left(y-x,n(x) \right)} {|x-y|^3} \rho \left( y \right)ds_y$, который получается формальным дифференцированием по нормали в точках границы, не представляет на самом деле нормальной производной потенциала простого слоя?

Да, на границе потенциал на дифференцируем. Там не выполнены условия теоремы о дифференцировании интеграла по параметру. Особенность не будет слабой.
Сам потенциал непрерывен во всем пространстве. По известной формуле скачка первая производная имеет скачок при переходе через границу. Аналогичные свойства у функции $|x|$. То, что в нуле у производной скачок, не мешает ей быть гладкой справа и слева и иметь соотв. пределы. Кстати, $|x|$ и будет потенциалом простого слоя для одномерного уравнения Лапласа