Пусть есть какой-то двухъямный потенциал типа такого:
![$\begin{tikzpicture}
\draw (-4, 3)--(-4, -2)--(-1, -2)--(-1, 0)--(1, 0)--(1, -2)--(4, -2)--(4, 3);
\draw [->, thick] (-6, 0)--(6, 0) node [pos=0.99, below] {$x$};
\draw [->, thick] (0, -3)--(0, 3.5) node [pos=0.97, left] {$E$};
\draw [fill] (-4, 0) circle (1mm) node [above left] {$-a-\frac b 2$};
\draw [fill] (-1, 0) circle (1mm) node [above left] {$-\frac b 2$};
\draw [fill] (1, 0) circle (1mm) node [above right] {$\frac b 2$};
\draw [fill] (4, 0) circle (1mm) node [above right] {$a+\frac b 2$};
\draw [dashed] (-1, -2)--(1, -2) node [pos=0.5, below left] {$-U_0$};
\end{tikzpicture}$ $\begin{tikzpicture}
\draw (-4, 3)--(-4, -2)--(-1, -2)--(-1, 0)--(1, 0)--(1, -2)--(4, -2)--(4, 3);
\draw [->, thick] (-6, 0)--(6, 0) node [pos=0.99, below] {$x$};
\draw [->, thick] (0, -3)--(0, 3.5) node [pos=0.97, left] {$E$};
\draw [fill] (-4, 0) circle (1mm) node [above left] {$-a-\frac b 2$};
\draw [fill] (-1, 0) circle (1mm) node [above left] {$-\frac b 2$};
\draw [fill] (1, 0) circle (1mm) node [above right] {$\frac b 2$};
\draw [fill] (4, 0) circle (1mm) node [above right] {$a+\frac b 2$};
\draw [dashed] (-1, -2)--(1, -2) node [pos=0.5, below left] {$-U_0$};
\end{tikzpicture}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/3/7/b374e3e1f5b81bc66a50bf06518fb38782.png)
Пусть мы хотим найти глубоколежащее основное состояние (предполагаем, что оно
реально глубоко лежит). Мы не хотим решать честно уравнение Шрёдингера, а хотим взять основное состояние левой ямы (в том месте, где левая яма, потенциал

равен

, в остальном пространстве, где наш двухъямный потенциал не бесконечен, он равен нулю, а где бесконечен -- там

) и основное состояние правой ямы (всё аналогично для потенциала

):

Гамильтониан двухъямного потенциала равен

, и действуя им на линейную комбинацию, получаем

где

и аналогично

. Уравнение Шрёдингера

домножением и интегрированием приводится к системе


Мы эту систему можем решить строго, всё матричные элементы хорошо вычисляются. Описание основного состояния в двухъямном потенциале (на самом деле, даже пары состояний, находящихся глубже всего, одно симметричное, другое асимметричное с мизерным расщеплением по энергии между друг другом) разложением только по двум функциям

и

должно быть почти точным.
Я тут задумался вот о чём. Скорее всего, если в одноямном потенциале всё же есть основное состояние (в том смысле, что оно ниже барьера), то и в двухъямном потенциале оно тоже будет (ну хотя бы симметричное, поскольку асимметричное может легко оказаться выше барьера, а мы такие не хотим).
Однако, пусть теперь мы рассматриваем не основное состояние. Допустим, мы возьмём в качестве затравочной линейную комбинацию двух одинаковых по энергии, но возбуждённых состояний (

, если

основное) левой и правой ям:

Мы точно так же можем написать уравнение Шрёдингера, сделать из него

систему и решить её точно. Как нам проверить, что это решение описывает (хотя бы приближенно)

-ную пару состояний в полном двухъямном потенциале (подобно тому, что такая линейная комбинация для основной пары состояний даёт почти верный результат, во что мы, в общем, поверили при некоторых условиях)?
Может же случиться и так, что мы выписали какую-то линейную комбинацию, решили с ней УШ, но ответ даже и близко не похож на то, что реально должно быть. Если мы поняли, что получили фигню, мы можем попробовать включить в разложение ещё какие-нибудь одноямные состояния (обычно, как я понимаю, требуются вышележащие), но размеры системы тогда увеличатся, например, если сделать

то система уравнений будет уже

, и дальше снова нужно задать себе вопрос, а стало ли решение более
лучше точным. Собственно, об этом и вопрос: не решая прямо УШ для анализируемой системы, можно ли сказать, насколько линейная комбинация состояний её частей точно передаёт состояния самой системы?