Характеристика функции выдачи

[Sicker]

Пусть у нас есть функция $f(t)$ на интервале $[0,1]$, для которой выполняется условие $\int_{0}^{1}f(t) dt=1$. Эта функция характеризует скорость выдачи какого-то полезного вещества (например денег) если нам известно суммарное количество этого вещества в банкомате выдачи. Пусть у нас имеются две различные функции выдачи и мы хотим понять, какая из них лучше. Можно ввести такую меру, функция $f_1(t)\geq f_2(t)$, если $F(x)=\int_{0}^{x} f_1(t)-f_2(t) dt \geq 0$ на $x\in [0,1]$, причем $f_1(t)=f_2(t)$ только если $F(x)=\int_{0}^{x} f_1(t)-f_2(t) dt = 0$, и соответственно $f_1(t)\leq f_2(t)$, если $F(x)=\int_{0}^{x} f_1(t)-f_2(t) dt \leq 0$. В противном случае функции несравнимы.
Для такого упорядочивания выполняются свойства:
1) Если $f_1>f_2, f_2>f_3$, то $f_1>f_3$
2) Существует максимальная и минимальная функции, т.е. которые больше или меньше всех остальных функций
$\max=\delta(t)>\forall f(t)$
$\min=\delta(t-1)<\forall f(t)$
И собственно вопрос - известна ли такая функция полезности?

[Brukvalub]

Sicker в сообщении #1432483 писал(а):

2) Существует максимальная и минимальная функции, т.е. которые больше или меньше всех остальных функций
$\max=\delta(t)>\forall f(t)$
$\min=\delta(t-1)<\forall f(t)$
..

Что такое $\delta(t)$? Неужели это дельта-функция?

[Sicker]

Brukvalub в сообщении #1432609 писал(а):

Что такое $\delta(t)$? Неужели это дельта-функция?

Конечно

[arseniiv]

Вы забыли явно указать требование неотрицательности вашей функции, а так вы переоткрыли функции распределения, и если рассматривать их, никакие дельты не понадобятся. Исходные же функции, в таком случае плотности распределения, существуют лишь для абсолютно непрерывных. Ну и дальше всякая теория меры и прочее. (Даже в случае, если можно, чтобы интеграл порой уменьшался — ну будет вместо меры заряд, для него многие результаты всё равно останутся.)

[--mS--]

Например, вот это можно почитать http://insurance-institute.ru/library/kaas/kaas10.pdf

[Sicker]

arseniiv в сообщении #1432619 писал(а):

Вы забыли явно указать требование неотрицательности вашей функции

Ой да, точно

[Brukvalub]

Sicker в сообщении #1432483 писал(а):

Пусть у нас есть функция $f(t)$ на интервале $[0,1]$,

Напомните мне, пожалуйста, какие значения принимает дельта-функция на этом интервале.

[Sicker]

Brukvalub в сообщении #1432728 писал(а):

Напомните мне, пожалуйста, какие значения принимает дельта-функция на этом интервале.

Дельта это функционал, главное что ее можно уместить на концах этого интервала

[Brukvalub]

Sicker в сообщении #1432800 писал(а):

Дельта это функционал, главное что ее можно уместить на концах этого интервала

Такие перлы достойны закрепления путем цитирования!
Напомните мне, пожалуйста, как определяется интеграл от дельта-функции по отрезку и как это определение связано с Римановским, Лебеговским или иным интегралом из ТФДП?

[Sicker]

Brukvalub в сообщении #1432805 писал(а):

Напомните мне, пожалуйста, как определяется интеграл от дельта-функции по отрезку

Интеграл по области, содержащий сингулярность дельта-функции равен единице. Обобщенное интегрирование

Brukvalub в сообщении #1432805 писал(а):

и как это определение связано с Римановским, Лебеговским или иным интегралом из ТФДП?

Никак, но можно понимать дельта-функцию как класс эквивалентности дельта-образных последовательностей (куда в частности входит функция ступенька, и синус от обобщенного интегрирования в преобразовании фурье), так что тогда все определения интеграла остаются применимыми

[svv]

Sicker
У Вас $f_1\geqslant f_2$, только если $F(x)\geqslant 0$ для всех $x\in[0,1]$. Я хочу уговорить Вас отказаться от этого условия.
На улице стоят два автомата, каждый из которых наливает клиенту стакан водки. Мы запускаем их одновременно.
Первый автомат наливает водку очень быстро, но задерживает одну каплю.
Второй автомат наливает гораздо медленней.
Через небольшое время после того, как второй автомат налил весь стакан, из первого капает последняя капля.
Неужели Вы не согласитесь, что первый автомат лучше, хотя в течение некоторого времени Ваше условие было нарушено?

[Brukvalub]

Sicker в сообщении #1432812 писал(а):

Интеграл по области, содержащий сингулярность дельта-функции равен единице. Обобщенное интегрирование

И такое интегрирование обладает всеми привычными свойствами? Например, такой интеграл является линейным функционалом и аддитивен по области интегрирования?
И как тогда можно путем интегрирования разности сравнить функцию и дельта-функцию? каким объектом является такая разность: обычной функцией, или обобщенной, или чем-то еще? Как эту разность интегрировать?

[Sicker]

svv в сообщении #1432814 писал(а):

Неужели Вы не согласитесь, что первый автомат лучше, хотя в течение некоторого времени Ваше условие было нарушено?

Еще раз, мое условие достаточное, а не необходимое. Т.е. если оно выполняется, то первый автомат точно лучше второго, а если нет, то они в моей метрики несравнимы (хотя с бытовой точки зрения могут быть и сравнимы). В вашем же примере можно придумать ситуацию, когда первый автомат хуже, например если злой волшебник приказал принести всю водку до последней капли

-- 31.12.2019, 01:39 --

Brukvalub в сообщении #1432815 писал(а):

И такое интегрирование обладает всеми привычными свойствами?

Ну да

Brukvalub в сообщении #1432815 писал(а):

Например, такой интеграл является линейным функционалом и аддитивен по области интегрирования?

Да

Brukvalub в сообщении #1432815 писал(а):

И как тогда можно путем интегрирования разности сравнить функцию и дельта-функцию?

По моему условию

Brukvalub в сообщении #1432815 писал(а):

каким объектом является такая разность: обычной функцией, или обобщенной, или чем-то еще?

Обобщенной. В частности $\delta(t)+f(t)=\delta(t)$, если $f(t)=1$ в нуле, и $f(t)=0$ в остальных точках

Brukvalub в сообщении #1432815 писал(а):

Как эту разность интегрировать?

Как интегрировать обычную дельта-функцию

[svv]

Sicker
OK, жаль. А так бы можно было в качестве искомого функционала взять средний момент времени:
$T(f)=\int\limits_0^1 t\;f(t)\;dt$
У какого автомата средний момент времени наступил раньше, тот и лучше.

[Brukvalub]

Sicker в сообщении #1432824 писал(а):

По моему условию
Brukvalub в сообщении #1432815

писал(а):
каким объектом является такая разность: обычной функцией, или обобщенной, или чем-то еще?
Обобщенной. В частности $\delta(t)+f(t)=\delta(t)$, если $f(t)=1$ в нуле, и $f(t)=0$ в остальных точках
Brukvalub в сообщении #1432815

писал(а):
Как эту разность интегрировать?
Как интегрировать обычную дельта-функцию

Выходит, что$ \int^1_0(\delta(t)+1)dt= \int^1_0\delta(t)dt=1$, хотя, с другой стороны, по правилам линейности должно быть: $ \int^1_0(\delta(t)+1)dt= \int^1_0\delta(t)dt+ \int^1_01dt=1+1=2$
и $\int^1_{-1}\delta(t)dt=1$ , хотя по правилам аддитивности должно быть: $\int^1_{-1}\delta(t)dt=\int^0_{-1}\delta(t)dt+\int^1_0\delta(t)dt=1+1=2$.
Как же тогда быть вот с этими вашими заявлениями:

Sicker в сообщении #1432824 писал(а):

Brukvalub в сообщении #1432815

писал(а):
И такое интегрирование обладает всеми привычными свойствами?
Ну да
Brukvalub в сообщении #1432815

писал(а):
Например, такой интеграл является линейным функционалом и аддитивен по области интегрирования?
Да