В любой ли группе есть 0?

[eanmos]

На контрольной дали задание примерно следующей формулировки:

Цитата:

Доказать что в любой группе верно следующее равенство: $x * 0 = 0 * x =0$.

Я знаю, что группа — это алгебраическая стуктура $(M, *)$ из несущего множества $M$ и операции $*$, причем

- операция $*$ ассоциативна;
- для любого элемента из $M$ существует нейтральный элемент по $*$;
- для любого элемента из $M$ существует обратный элемент.

Но я не понимаю, что вообще за $0$ дан в условии? Неужели в несущем множестве любой группы есть число $0$? Элементы в группе ведь не обзательно должны быть числами, это могут быть любые сущности. Что я не так понимаю?

[Aritaborian]

eanmos в сообщении #1429755 писал(а):

- для любого элемента из $M$ существует нейтральный элемент по $*$;

Это и есть наш $0$. Обычно так обозначают нейтральный элемент в группе, операция которой коммутативна (такие группы называются абелевыми). Операцию при этом традиционно обозначают плюсом. В неабелевых группах нейтральный элемент обозначают как правило $1$, а операцию — звёздочкой или никак.

[pogulyat_vyshel]

eanmos в сообщении #1429755 писал(а):

В любой ли группе есть 0?

если нулем вы называете это:

eanmos в сообщении #1429755 писал(а):

Доказать что в любой группе верно следующее равенство: $x * 0 = 0 * x =0$.

то, очевидно , не в любой

-- 11.12.2019, 22:22 --

может там о кольце идет речь?

[eanmos]

Aritaborian в сообщении #1429757 писал(а):

eanmos в сообщении #1429755 писал(а):

- для любого элемента из $M$ существует нейтральный элемент по $*$;

Это и есть наш $0$. Обычно так обозначают нейтральный элемент в группе, операция которой коммутативна (такие группы называются абелевыми). Операцию при этом традиционно обозначают плюсом. В неабелевых группах нейтральный элемент обозначают как правило $1$, а операцию — звёздочкой или никак.

Но ведь не может быть, что $x \ast 0 = 0$, если $0$ -- нейтральный элемент.

-- 11.12.2019, 22:23 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1429759 писал(а):

eanmos в сообщении #1429755 писал(а):

В любой ли группе есть 0?

если нулем вы называете это:

eanmos в сообщении #1429755 писал(а):

Доказать что в любой группе верно следующее равенство: $x * 0 = 0 * x =0$.

то, очевидно , не в любой

-- 11.12.2019, 22:22 --

может там о кольце идет речь?

У нас было два варианта: в первом говорилось о кольце, во втором -- как раз о группе.

[Aritaborian]

eanmos в сообщении #1429760 писал(а):

Но ведь не может быть, что $x \ast 0 = 0$, если $0$ -- нейтральный элемент.

Вот и другой собеседник подозревает, что вы неправильно вспомнили формулировку задачи...

[mihaild]

Самое похожее осмысленное утверждение, которое я могу придумать: идет речь об абелевой группе $(M, +)$ как модуле над кольцом $\mathbb{Z}$ и утверждении $0_\mathbb{Z} \cdot x = 0_M$. Но т.к. к $0$ из условия применяют групповую операцию, то он должен быть из группы. А в группах поглощающие элементы бывают только если группа одноэлементная...

В общем задание выглядит очень странно.

[eanmos]

mihaild в сообщении #1429762 писал(а):

В общем задание выглядит очень странно.

Возможно, это просто опечатка.

А тогда, какой будет ответ, если в условии будет кольцо?

Цитата:

Доказать что в любом кольце верно следующее равенство: $x * 0 = 0 * x =0$.

Ведь несущее множество кольца тоже не обязано содержать числа.

Я работал с похожим равенством в линейной алгебре: это одно из свойств линейных пространств, которое легко доказывается через аксиомы дистрибутивности и унитарности, но в данном случае, все, что нам известно про $\ast$ -- это ассоциативность.

[nnosipov]

eanmos в сообщении #1429765 писал(а):

но в данном случае, все, что нам известно про $\ast$ -- это ассоциативность.

В кольце, помимо умножения, есть еще и сложение. Вот этим и воспользуйтесь.

-- Чт дек 12, 2019 01:52:21 --

eanmos в сообщении #1429765 писал(а):

Ведь несущее множество кольца тоже не обязано содержать числа.

Разумеется. Но что обозначает символ $0$ в формуле, которую нужно доказать? Разве число $0$?

[eanmos]

nnosipov

Если я правильно сейчас понял, то мне нужно доказать, что если $0$ в кольце -- это нейтральный по сложению элемент ($0 + x = x$), то $0 * x = 0$. Правильно?

[nnosipov]

eanmos в сообщении #1429768 писал(а):

Правильно?

Да.

[eanmos]

nnosipov

Спасибо!